四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期数学（理科）第5周周考试题

成都石室中学2023-2024学年度上期高2024届周考（20231005） 数学试题(理科) （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A B. C. 1 D. 4 3. 已知函数，若是偶函数，则（ ） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 4. 函数在的图象大致为 （ ） A B C D 5. 设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. －112 B. －48 C. 48 D. 112 7. 已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       ) A．0 B．10 C． D． 8. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于点为坐标原点，过点作，垂足为，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且当时，，若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡上． 13. 如右图，网格纸上小正方形边长为，粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为______ . 14. 平面上到点的距离是1且到点的距离是4的直线的条数是______ . 15. 如右图，△ABC中，，，. 若，.，，则=______ . 16．已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为______ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值. 18. (12分)中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）. 另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量（单位：） 猕猴桃灾害等级 轻灾 正常 轻灾 重灾 以收集数据的频率作为概率. （1）估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率； （2）若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案； 方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元. 方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元. 方案3：不采取防控措施. 问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由. 19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 20. （12分）设O是坐标原点，以，为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点. （1）求C的方程； （2）P是C外的一点，过P的直线，均与C相切，且，的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围. 21.（12分）已知函数，其中，e=2.71 828…是自然对数的底数. （1）证明：当时，方程无实根； （2）若函数是内的减函数，求实数的取值范围. 选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程以及