6.3 二项式定理6题型分类-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3 二项式定理6题型分类 一、二项式展开式 二、二项展开式的通项公式 三、二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 四、二项式系数的性质 1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴． 2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． 3．二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. （一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项． 题型1：求二项式的展开式及特定项 1-1．（2023·江苏·高二专题练习）化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023下·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 1-4．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． （二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑． 题型2：两个二项式相乘问题 2-1．（2023上·四川·高三校联考开学考试）的展开式中的常数项为（    ） A．240 B． C．400 D．80 2-2．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（    ） A．120 B．135 C．140 D．100 2-3．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2-4．（2023·山东·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．160 D．80 （三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高． 题型3：求多项式展开式及特定项 3-1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）的展开式中x项的系数为（    ） A．568 B．－160 C．400 D．120 3-2．（2023上·广西贵港·高三校联考阶段练习）展开式中的系数为（    ） A． B．21 C． D．35 3-3．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（    ） A． B． C．100 D．160 3-4．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 （四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，