2024年中考数学高频考点突破——相似三角形与圆综合

2024年中考数学高频考点突破——相似三角形与圆综合 1．如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC． （1）求证△ABC∽△ADB; （2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长. 2．如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD． (1)求证：ΔABD∽ΔACE； (2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状． 3．在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证AC•AF=DF•FE 4．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长． 5．如图，在中，，点O是边上的一点，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，连接．    (1)． (2)若的半径为1，求证： 6．如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．    (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，求的长． 7．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP. （1）求∠P的度数； （2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.（π取3.14） 8．如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 9．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．    (1)求证：； (2)P是上一点，，求； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 10．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 11．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 12．如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接． (1)当点P不与点B重合时，求证：平分； (2)当圆M与直角梯形的边相切时，请直接写出此时的长度； (3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程． 13．已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 14．如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知． (1)线段与垂直吗？请说明理由． (2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值． 15．某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）    （1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状； （2）求证：，且其比值； （3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值． 16．在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D． （1）如图1，求证：AB为的切线； （2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F． ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由． ②若，求的值． 17．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝E