利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 讲解 利用函数的导数求函数的最大（小）值，可以处理有关函数图象、不等式等综合问题，特别是有关不等式恒成立问题，是近几年来高考的重点、热点和难点，经常以高考压轴题的形式出现． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 处理不等式恒成立问题的方法 取主元（给定范围内任意取值的变量），结合参数分类，利用最大（小）值或数形结合解决有关不等式恒成立问题． 在定义域内，对于任意的x，都有f（x）≥a成立，转化为f（x）min≥a； 对于任意的x，都有f（x）≤a成立，转化为f（x）max≤a． 将主元与参数分离变量，将不等式恒成立转化为最大（小）值问题来解决． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 讲解 证明不等式问题，可以将不等式问题转化为最大（小）值问题，利用函数的最大（小）值加以证明． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例1 已知函数f（x）＝（1＋x）e－2x，x∈[0，1]，求证：1－x≤f（x）≤ ． 思路点拨：不等式变形—→作差构造函数—→对函数求导判断单调性—→求函数最值—→得证． 证明：要证当x∈[0，1]时，f（x）＝（1＋x）e－2x≥1－x， 只需证明（1＋x）e－x≥（1－x）ex． 记h（x）＝（1＋x）e－x－（1－x）ex， 则h′（x）＝x（ex－e－x）， 当x∈（0，1）时，h′（x）＞0， 因此h（x）在[0，1]上是增函数， 故h（x）≥h（0）＝0， 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例1 已知函数f（x）＝（1＋x）e－2x，x∈[0，1]，求证：1－x≤f（x）≤ ． 所以f（x）≥1－x，x∈[0，1]． 当x∈（0，1）时，g′（x）＞0， 因此g（x）在[0，1]上是增函数，故g（x）≥g（0）＝0， 要证当x∈[0，1]时，f（x）＝（1＋x）e－2x≤ ，只需证明ex≥x＋1． 所以f（x）≤ ，x∈[0，1]． 综上，1－x≤f（x）≤ ，x∈[0，1]． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例2 设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）． （1）求f（x）的最小值h（t）； （2）若h（t）＜－2t＋m对任意t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围； （3）若对任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求实数m的取值范围． 思路点拨：（1）将f（x）配方—→利用二次函数的性质求最小值h（t）． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例2 设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）． （1）求f（x）的最小值h（t）； （2）若h（t）＜－2t＋m对任意t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围； （3）若对任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求实数m的取值范围． 解析：（1）∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1（x∈R，t＞0）， ∴当x＝－t时，f（x）取最小值f（－t）＝－t3＋t－1， 即h（t）＝－t3＋t－1． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例2 设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）． （1）求f（x）的最小值h（t）； （2）若h（t）＜－2t＋m对任意t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围； （3）若对任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求实数m的取值范围． 思路点拨：（2）不等式变形为h（t）－（2t＋m）＜0—→构造函数g（t）＝h（t）－（－2t＋m），t∈（0，2）—→求g（t）的最大值—→根据恒成立列不等式—→解得实数m的取值范围． 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例2 设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）． （2）若h（t）＜－2t＋m对任意t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围； 解析： （2）记g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，t∈（0，2）， 当t变化时，g′（t），g（t）的变化情况如表所示． 则g′（t）＝－3t2＋3，令g′（t）＝0，得t＝1或t＝－1（舍去）． t （0，1） 1 （1，2） g′（t） ＋ 0 － g（t） ↗ 极大值 ↘ 利用函数的最大（小）值解决与不等式恒成立有关的问题 例2 设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）． （2）若h（t）＜－2t＋m对任意t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围； ∴g（t）在（0，2）内