2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（相似三角形问题）

2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． ②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标． 2．如图，将抛物线W1：y＝﹣x2＋3平移后得到W2，抛物线W2经过抛物线W1的顶点C，且与x轴相交于A、B两点，其中B（1，0），抛物线W2顶点是D． (1)求抛物线W2的关系式； (2)设点E在抛物线W2上，连接AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线W1沿x轴方向平移，点C的对应点为F，当△DEF与△ABC相似时，请求出平移后抛物线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数：y＝x2﹣2x﹣6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求点A、点C的坐标及对称轴方程； (2)若直线y＝﹣x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值； (3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标． 4．抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D． （1）写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标（用含a的代数式表示） （2）连接BD并以BD为直径作⊙M，当a=-1时，请判断⊙M是否经过C，并说明理由； （3）在（2）题的条件下，点是抛物线上任意一点，过作直线垂直于对称轴，垂足为Q. 那么是否存在这样的点，使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=1200． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 6．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D． （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点． （1）求此二次函数的解析式和点C的坐标； （2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、．求证：平分； （3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3． （1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标； （2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标. 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求 APC面积的最大值； （3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 10．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO= （1）求点B的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标． 11． 如图，已知经过点D（2，）的抛物线（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C． （1）填空：m的值为 ，点A的坐标为 ； （2）根据下列描述，用尺规完成作图