专题01 平面向量的概念及其线性运算（8题型）-2023-2024学年高一数学重点题型强化训练（人教A版2019必修第二册）

-2023-2024学年高一数学重点题型强化训练 专题01 平面向量的概念及其线性运算 1.理解向量概念应关注的两点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”． (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的． (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 3.在平面图形中寻找共线、相等向量的方法： (1)在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量. (2)相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相同的共线向量即可. 注意：判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同. 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系. 4.利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法： (1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等. (2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合. 常用的两个结论：①若，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则.②若，则A，B，C三点共线. 5.向量的加减法运算有如下方法： (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； 2)运用减法公式(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 6.利用已知向量表示其他向量的思路： 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即所以及(M，N均是同一平面内的任意点). 7.解决向量的线性运算问题的基本方法： 向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程(组)的方法求解. 一．向量的概念与向量的模 1．（2023秋•道里区校级期中）下列关于空间向量的说法中正确的是　　 A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（2023春•德城区校级月考）已知非零向量，满足，则向量的模是　　 A．4 B． C．2 D． 3．（2023春•金安区校级期中）下列说法错误的是　　 A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 4．（2023春•静海区期中）下列说法错误的是　　 A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 5．（2023秋•广安月考）若，，，，，，当取最小值时，的值等于　　 A．0 B． C． D． 6．（2023秋•9月份月考）已知向量，线段的中点为，且，则　　 A． B． C． D． 7．（2023春•秦州区校级月考）如图，在正六边形中，若，则　　． 8．（2023春•西城区校级期末）已知正方形的边长为2，则　　． 9．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　． 10．（2023•海口模拟）已知，且，则实数　　． 11．（2023春•阿拉善左旗期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 二．向量相等与共线 12．（2023•新疆学业考试）如图所示，在平行四边形中成立的是　　 A． B． C． D． 13．（2023春•衢江区校级期中）已知，为非零不共线向量，向量与共线，则　　． 14