第14章 勾股定理 课件2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版 八年级上册 章末复习 1 知识结构 直角三角形 勾股定理 勾股定理的逆定理 应用 反证法 思考并回答下列问题: 问题1:勾股定理与逆定理的内容是什么? 问题2:勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的,它们各体现什么样的数学思想?你是怎样理解的? 问题3:如何判定一个三角形是直角三角形? 问题4:反证法的步骤是什么? 要 点 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. a b c A B 如果在Rt ABC中,∠C=90 , 字母表示: 那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的证明方法: 我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,再进行整式运算,从理论上验证了勾股定理. 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. a b c A B C 字母表示: 如果 ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2, 那么 ABC是直角三角形. 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 反证法是从反面的角度着手的间接证明方法,即:肯定条件而否定结论,从而得出矛盾,使命题获得证明.反证法是数学中常用的一种证明方法.当命题从正面不容易或不能得到证明时,就可以考虑运用反证法. 典例精析 例1(1)下列命题中正确的是( ) A.1.5,2,2.5是勾股数 B.至少有一个角大于60 的反面是至多有一个角大于60 C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形 D.直角三角形的两边是3和4,它的面积是6 C (2)如图,每个小正方形的边长为1,点A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC=_. (3)如图,长方形ABCD中,AB=15cm,点E在AD上,且AE=9cm,连结EC将长方形沿BE翻折,点A恰好落在EC上的点A′处,则A′C=_cm. 45 8 例2 如图圆柱形的玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米? 解:画出全半侧面的展开图,如图,则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A关于直线EF的对称点A′,则A′E=4cm,连结A′C交EF于P,则PA+PC最短,作GC⊥EN于G,在Rt A′GC中,AP+PC= =15(cm). 例3 在Rt ABC中,已知两直角边a与b的和为pcm,斜边长为qcm,求这个三角形的面积. 解:∵a+b=p,c=q, ∴a2+2ab+b2=(a+b)2=p2,a2+b2=q2(勾股定理). ∴2ab=p2-q2, ∴ (cm2). 例4 如图所示,有一个正方形水池,每边长4米,池中央长了一棵芦苇,露出水面1米,把芦苇的顶端引到岸边,芦苇顶和岸边水面刚好相齐,你能算出水池的深度吗? 解:设水池深为x米,BC=x米,AC=(x+1)米,因为池边长为4米,所以BA′=2米,在Rt A′BC中,根据勾股定理得x2+22=(x+1)2,解得x=1.5. 例5 如图所示, ABC中,AB=26,BC=20,BC边上的中线AD=24,求AC. 解:∵AD是边BC上的中线,且BC=20, ∴BD=DC= BC=10. ∵AD2+BD2=576+100=676=262=AB2, ∴AD2+BD2=AB2, ∴∠ADB=90 ,即AD⊥BC.(勾股逆定理) 在Rt ADC中,AC= 例6 已知,如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90 ,CD⊥ AD于点D,且CD2+AD2=2AB2. (1)求证AB=BC; (2)当BE⊥AD于点E时,试证明:BE=AE+CD. (1)证明:由条件CD2+AD2=2AB2,并结合图形,有CD2+AD2=AC2,又AC2=AB2+BC2(连结AC),从而2AB2=AB2+BC2,有BC=AB; (2)证明:过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知 ABE≌ BCF,有BF=AE,且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD. F 复习题 1.求下列各图形着色部分的面积: (1)着色部分是正方形; (2)着色部分是长方形; A组 12cm 13cm 15cm 8cm 3cm S=132-122=25(cm2). (3)着色部分是半圆. 6cm 10cm 2.如图,以Rt ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形,试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系. 解:以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积. 3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形: (1)三边长分别为m2+ n2、mn、m2-n2(m>n>0); (2