14.1.2 直角三角形的判定 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版·八年级上册 2.直角三角形的判定 1 新课导入 在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？ 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？ 请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？ 3 4 5 这个三角形的三条边有什么关系吗？ 32+42=52 试 一 试 试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a=3，b=4，c=5； (2) a=4，b=6，c=8； (3) a=6，b=8，c=10. 可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形. a2+b2=c2 探究新知 对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 互逆定理 试 一 试 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？ (1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242=49+576=625， b2=252=625， ∴a2+c2=b2. ∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形. 试 一 试 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？ (1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92=121+81=202， a2=132=169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形. 已知：如图所示(1)，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：∠C=90°. C A B (1) C A B (1) 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC = a = B′C′， AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 证明：如图所示(2)，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c. (2) C′ A′ B′ 已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 例4 解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n4 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 =AC2， ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 勾股数 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3，4，5；6，8，10；n²-1，2n，n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数. 随堂练习 1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角. (1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5. 解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角. (2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角. 2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？ 解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形. 3.想一想，你现在有多少种方法可以判断一个三角形是直角三角形. 解：①有一个角为直角的三角形是直角三角形.②两内角互余的三角形是直角三角形.③如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 4.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ). A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15 5.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是(