14.1.1 直角三角形三边的关系 课件 2023--2024学年 华东师大版八年级数学上册

华东师大版·八年级上册 第14章 勾股定理 1.直角三角形三边的关系 1 新课导入 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标. 会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？ P Q R A C B SP+SQ=SR 直角三角形ABC三边有什么关系？ AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 试 一 试 观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： P Q R A B C 正方形P的面积=______平方厘米； 正方形Q的面积=______平方厘米； 正方形R的面积=______平方厘米. 9 16 25 P Q R A B C 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________ _______________. SP+SQ=SR 由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是： AC2+BC2=AB2 做 一 做 画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 5cm 12cm 13cm 探究新知 概括 由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2， a b c 这种关系我们称为勾股定理. 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 读 一 读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就. 勾 股 a b c 股 勾 弦 思考：怎样证明勾股定理？ 左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形. 大正方形的面积=c2. 四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= . 即a2+b2=c2. 做 一 做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程. 证明：大正方形的面积=(a+b)2. 四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= . 由题可知(a+b)2=2ab+c2， 化简可得a2+b2=c2. 我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. c b a c2 b b a a ＝ c c c c c2 b2 a2 c2＝a2＋b2 例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC. 解：根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2. 所以 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度. （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________. 试 一 试 13 15 10或 例2 如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm.求AC的长. 解：由已知AB=AC-2，BC=6cm，根据勾股定理可得 AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2， A B C 解得AC=10(cm). 如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？ 例3 解：如图所示，在Rt△ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理，可得 答：从点A穿过湖到点B有96米. 随堂练习 1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=24，c=25，求b. 解：(1)在Rt△ABC中，∠C=9