14.1.1 直角三角形三边的关系 导学课件 2023--2024学年华东师大版八年级数学上册

14.1 勾股定理 第14章 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系 逐点 学练 本节小结 作业提升 学习目标 本节要点 1 学习流程 2 勾股定理 勾股定理的证明 知识点 勾股定理 感悟新知 1 1. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言：如图14.1-1，在Rt △ ABC 中， ∠ C=90°，AB=c，AC=b，BC=a， 则a2+b2=c2. 感悟新知 2. 勾股定理的变形公式 a2=c2－b2；b2=c2－a2. 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 感悟新知 特别提醒 1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理. 2. 利用勾股定理已知其中任意两边可以求出第三边. 3. 运用勾股定理，若分不清哪条边是斜边时，则要分类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解. 感悟新知 在Rt△ABC 中, ∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a， B，c，∠ C=90° . (1)已知a=3，b=4, 求c； (2)已知c=13，a=12，求b； (3)已知a∶b=2∶1，c=5，求b(结果保留根号). 例 1 解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答. 6 感悟新知 解：(1)∵∠ C=90°，a=3，b=4， ∴由勾股定理得c= (2)∵∠ C=90°，c=13，a=12， ∴由勾股定理得b= (3)∵ a∶b=2∶1， ∴ a=2b. ∵∠ C=90°，c=5， ∴由勾股定理得b2+(2b)2=52，解得b= (负值舍去). 感悟新知 1-1. 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的对边分别为a，b，c. (1)若a∶b=3∶4，c=75，求a，b； 解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15. 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60. 感悟新知 (2)若c－a=4，b=16，求a，c. 感悟新知 已知直角三角形两边的长分别是3 和4，则第三边 的长为________ . 解题秘方：紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边”进行分类解答. 例2 解：当第三边是斜边时，第三边长为 ； 当第三边是直角边时，第三边长为 . 10 感悟新知 2-1. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x, 则x 的值可能有( ) A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 4 个 B 知识点 勾股定理的证明 感悟新知 2 1. 常用证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证. 感悟新知 特别提醒 通过拼图证明命题的思路： 1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变； 2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3.利用等式性质变换验证结论成立. 即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 感悟新知 2. 著名证法举例： 方法 图形 证明 赵爽“赵爽 弦图” ∵ 大正方形的边长为c， ∴ 大正方形的面积为c2. 又大正方形的面积=4× ab+(a－b)2=a2+b2，∴ a2+b2=c 刘徽“青朱 出入图” 设大正方形的面积为S，则S=c2. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S=a2+b2，∴ a2+b2=c2 感悟新知 方法 图形 证明 加菲尔德总 统拼图 设梯形的面积为S，则S= (a+b)(a+b)= a2+ b2+ab. 又S= ab+ ab+ c2= c2+ab，∴ a2+b2=c2 毕达哥拉斯 拼图 由图①得大正方形的面积=c2+4× ab，由图②得大正方形的面积=a2+b2+4× ab， 比较两式易得a2+b2=c2 感悟新知 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了 勾股定理的一种验证方法. 如图14.1-2，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连结AC，AC′，CC′，设AB=a，BC=b，AC= c. 请利用四边形BCC′D′的面积 验证勾股定理：a2+b2=c2. 例 3 感悟新知 解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和”进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的. 感悟新知 证明：由题知C′D′=a