7.3.1 离散型随机变量的均值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.3.1 离散型随机变量的均值 1 学习目标 01 02 能记住离散型随机变量均值的意义和性质，能计算简单离散型随机变量的均值．(重点) 会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平．解决一些相关的实际问题．(重点、难点) 4 离散型随机变量的均值 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 5 例题分析 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 6 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值. 观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 8 观察图可以发现：在这12组掷般子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小、因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 9 探究 离散型随机变量均值的性质 11 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 12 13 规律方法1 解答均值运用问题的三个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． 例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？ 15 16 概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 规律方法2 17 练习巩固 B 18 D 19 C 20 A 22 ACD 23 24 25 27 28 29 30 32 33 34 课堂小结： 1．离散型随机变量的均值． 2．离散型随机变量的均值的性质． 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 . 甲n次射箭射中的平均环数为 . 当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 . 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 . 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X … P … 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 解：因为 ， ， 所以 . 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布， 那么 . 解：X的分布列为 ， . 因此 . 如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？ 即 和 （其中a，b为常数）分别与 有怎样的关系？ 设X的分布列为，. 根据随机变量均值的定义， . 类似地，可以证明. 一般地，有. 解：分别用A，B，