7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差 学习目标 01 02 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质．(重点) 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小、所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 思考 离散型随机变量的方差 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 探究 方差的性质 例题巩固 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差． 方法总结1 方法总结2 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． 课堂小练 A C D D A BD AD 21 课堂小结： 1．离散型随机变量的方差、标准差． 2．离散型随机变量的方差的性质． 感谢观看 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记 录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 通过计算可得， ， . 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 设离散型随机变量 的分布列如表所示. … … EMBED Equation.DSMT4 称为随机变 量 的方差，有时也记为 ，并称 为随机变量 的标准差，记为 . 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性，由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ，； ，. 因为（等价地，）， 所以随机变量Y 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. . 离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其 均值的离散程度，方差保持不变，即.而离散型随机变量乘以一个 常数a，其方差变为原方差的倍，即. 一般地，可以证明下面的结论成立：. 解：随机变量的分布列为，. 因为，， 所以. 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示. 表1 股票A收益的分布列 收益X /元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2股票B收益的分布列 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ， . 因为，所以投资股票A的期望收益较大. （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， . 因为和相差不大，且， 所以投资股票A比投资股票B的风险高. 1.已知离散型随机变量X的概率分布如表所示： X 0 2 4 P 则( ) A. B. C. D. 解析：由已知得，， 所以.故选A. 2.投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表： 甲种股票每股收益概率分布 乙种股票每股收益概率分布 收益 -1 0 2 收益 0