1.3正方形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 知识点　正方形的定义和性质 (1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． (2)性质：①正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质；②正方形的四个角都是直角，四条边相等；③正方形的对角线相等且互相垂直平分；④正方形是轴对称图形． 第1课时　正方形的性质 典例1　(教材P21练习T1·改编)如图，已知四边形ABCD是正方形． (1)若AC＝4 cm，则它的边长为　 cm，面积为　 　cm2；  (2)图中有几个等腰直角三角形?说明理由． (2)解：共有8个等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°． ∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD，△ABC，△ABD，△BCD，△ADC是等腰直角三角形． 8　 2　 变式1　如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°． ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABF＝∠D＝90°． ∵EA⊥AF，∴∠BAE＋∠BAF＝90°． ∴∠DAE＝∠BAF． 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF(ASA)． ∴DE＝BF． 典型2　如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，连接AF，BE，且AF⊥BE．求证：AF＝BE． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°． ∵AF⊥BE，∴∠AGB＝∠BAE＝90°． ∴∠BAG＋∠ABG＝∠BAG＋∠DAF＝90°． ∴∠ABG＝∠DAF． 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(ASA)． ∴AF＝BE． 1．(教材P22习题T2)如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵△CBE是等边三角形， ∴∠EBC＝60°，BC＝BE． ∴AB＝BE，∠ABE＝90°－∠EBC＝90°－60°＝30°． ∴∠AEB＝×(180°－30°)＝75°． 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°． ∵CE＝DF∴BC＋CE＝CD＋DF，即BE＝CF． 在△AEB与△BFC中， ∴△AEB≌△BFC(SAS)． ∴AE＝BF． 3．如图，在周长为 16 的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于点M. 求证：△BOE≌△COF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°． ∴∠BOC＝90°＝∠EOF． ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF． 在△BOE和△COF中， ∴△BOE≌△COF(ASA)． 4．(教材P22习题T4)在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分(不考虑道路的宽度)．你有几种方法?(至少说出三种) 解：有无数种方法．如图，过对角线的交点，任何两条互相垂直的线即可． 答图 A．1 B． C． D．2 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，则AC的长是( ) B 课堂小练 2．(教材P21练习T2·改编)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上任意一点，点P不与点A，C重合．求证：∠ABP＝∠ADP． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP． 在△ABP和△ADP中， ∴△ABP≌△ADP(SAS)． ∴∠ABP＝∠ADP． 1．下列说法不正确的是( ) A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 D 巩固训练 第2题图 2．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为( ) A．(8，0) B．(4，0) C．(4 ，0) D．(8 ，0) C 第3题图 3．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图