统计与二项分布综合（一）学案-2024届高三数学一轮复习

河北衡水中学2024届高三数学一轮复习 学案 第一组编人: 第二组编人： 校对人： 审核人： 日期： 统计与二项分布综合（一） 【学习目标】 1. 通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征； 2. 能在实际问题中抽象出模型的特征，识别和简单应用二项分布。 【知识梳理】 1．相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，则称A、B相互独立． (2)如果A、B相互独立，则A与、与B、与也相互独立． (3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2.重伯努利试验 （1）定义： ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. （2）特点： ①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． ③用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3.二项分布 （1）定义：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． （2）二项分布的适用范围及本质 ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种对立的结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． 4.两个特殊分布的期望与方差： 分布 期望 方差 两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) 二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．(　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　) (4)小张通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·()1·(1－)3－1＝.(　　) 【典例剖析】 题型一：重伯努利试验的判断 例1．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 题型二：二项分布的均值与方差 例2．（1）从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则　　 A． B． C． D． （2）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（    ） A．1 B．2 C． D． 题型三：二项分布的概率计算 例3．小明准备与对手比赛，已知每局比赛小明获胜的概率为0.6，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对小明有利？ 变式训练1 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列． 题型四　独立重复试验与二项分布实际应用 例4.甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分． (1)求随机变量X的分布列和均值； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)． 　 例5．我国2021年新年贺岁大片《你好，李焕英》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评．假设女性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为，男性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为．某机构就《你好，李焕英》是否好看的问题随机采访了名观众． (1)若这名观众男女，求这观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多的概率； (2)若