18.2特殊的平行四边形讲义2023-2024学年人教版八年级数学下册

18.2特殊的平行四边形★★★★☆☆ 矩形 【新手目标】 通过本关，你能够知道矩形的定义、性质与判定方法，知道矩形与平行四边形的区别与联系，理解斜边中线的性质。 关卡2-1 矩形的定义和性质 ★★★★☆☆ 【过关笔记】 一、矩形的定义 有一个角是 的平行四边形叫做矩形。 用符号语言表示： ∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形是矩形。 二、矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形 的所有性质外，还有以下性质： 1.矩形的四个角都是 ； 2.矩形的对角线 ； 3.矩形是 图形。 【成长例题】 例题1矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 例题2（2021春•永嘉县校级期末）如图，ABCD、AEFC都是矩形，而且点B在EF上，这两个矩形的面积分别是S1，S2，则S1，S2的关系是（　 　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．3S1＝2S2 例题3-1矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为 例题3-2矩形ABCD中，相邻两边的长分别为4cm、4cm，则两条对角线夹角是 例题4-1（2021·十七中·期中）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（　 　） 4-1图 4-2图 5-1图 A． B．3 C． D．5 例题4-2（2020•站前区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 例题5-1矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　 　） 5-2图 6图 A．1 B． C． D． 例题5-2（2022春•侯马市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　 ． 例题6 （2021·育才·月考）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB′的长为　 　． 例题7如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连接CF，使得CF=AF，过点A作AE⊥FC于点E． （1） 求证：AD=AE． （2）连接CA，若∠DCA=70°，求∠CAE的度数． 【过关练习】 练习1 （2020春•大石桥市期末）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5，且EO=2DE，则AD的长为 练习2 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为 练习3（2021•站前区校级一模）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为 关卡2-2 矩形的判定★★★★☆☆ 【过关笔记】 1.定义法：有一个角是直角的 形是矩形。 2. 相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的 形是矩形。 【成长例题】 例题1下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 例题2（2021·五中·月考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ． （1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长． 例题3（2021·盖州一中·月考）已知：如图，▱ABCD，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 例题4如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由 ． 例题5如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E.