17.2勾股定理的 逆定理 讲义2023-2024学年人教版八年级数学下册

17.2 逆定理★★☆☆☆☆ 【新手目标】用勾股定理的逆定理判断三角形形状，解决实际问题 关卡2-1 逆定理★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2（c为最长边），那么这个三角形是 三角形。 注意：勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能称之为斜边或直角边。 2.判断一个三角形是否为直角三角形的步骤 （1） 首先确定最大的边 （2）验证是否存在 的情况（即a2+b2=c2）；如果存在，那么△ABC是直角三角形（两个较短边为直角边，最长边为斜边）；如果不存在，那么△ABC不是直角三角形 3.勾股定理与逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在Rt△ABC中，a2+b2=c2 结论 a2+b2=c2 ∠C=90° 区别 以直角三角形为前提条件，得到数量关系a2+b2=c2。 以三角形三边数量关系a2+b2=c2为前提，得到直角三角形。 联系 两者都与三角形的三边有关系 【成长例题】 例题1-1 （2021·五中·月考）在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（　 　） A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝5，b＝12．c＝13 例题1-2（2021·一中·月考）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　 　） A． B．， C．32，42，52 D．4，5，6 例题1-3（2021·五中·月考）已知△ABC的三边分别为a、b、c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　 　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2 例题1-4△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（　　） A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形 例题2-1 （2021·一中·月考）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． （1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路； （2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角． 例题2-2（2022秋•铁岭月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝　 　时，△ABP为直角三角形． 例题3（2021·十七中 期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长． 例题4-1 禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示,现计划在空地上种草皮,经测量∠B=90∘，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元。 4-1图 4-2图 例题4-2（2021·十七中·月考）如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，求四边形ABCD的面积． 例题5（2021春•甘井子区校级期中）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2， ∴4×ab+（b﹣a）2＝c2．∴　 　 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程． （3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2＝c2． 【过关练习】 练习1 若△ABC三边长a，b，c满|b-a-2|+=0，则△ABC是什么三角形？ 练习2-1（2021春•兴城市校级期中）在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a＝b＝，c＝2 C．a：b：c＝1：2： D．a＝4，b＝5，c＝6