16.1二次根式讲义2023-2024学年人教版八年级数学下册

16.1 二次根式★★☆☆☆☆ 【新手目标】 会分辨二次根式，理解二次根式有意义的条件，会利用二次根式的性质解决问题 关卡1-1 定义及有意义的条件 ★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1.二次根式的定义 一般的，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为 。二次根号下的“a”叫做 。 【注意】（1）二次根式的定义是从形式上界定的，既必须含有二次根号“”， （2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如 ，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式。 （3）二次根式根指数是2，这里的2可以省略不写，如不是二次根式，因为它的根指数不是2 （4）形如 （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与 的乘积，当b是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如 不能写成1 的形式 2.二次根式有意义的条件 从总体上描述：在二次根式中，当 时，有意义；当 时，无意义。 注意：二次根式作为分式的分母；如 有意义的条件A＞0； 二次根式作为分式的和；如 有意义的条件： 【成长例题】 例题1-1（2022·十七中·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（　C　） A． B． C． D． 例题1-2下列式子中，哪些是二次根式？ （1） （2） （3） （4） （5） （x≥0；y≥0） （6） （7） 例题2-1（2022·期末·统考）二次根式有意义的条件是（　C　） A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3 例题2-2（2021·育才·月考）要使式子有意义，则m的取值范围是（　D　） A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1 例题2-3（2021·育才·期中）在函数中，自变量x的取值范围是x≥2且x≠3　． 例题3-1（2021·盖州一中·月考）已知x、y为实数，且．则xy的平方根＝　±6　． 例题3-2（2021·育才·月考）已知x是实数且满足（x﹣3）＝0，则相应的代数式x2+2x﹣1的值为　7　． 【过关练习】 练习1下列各式中，不是二次根式的是（　B　） A． B． C． D． 练习2-1（2021·五中·月考）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　A　） A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1 练习2-2（2021·五中·月考） 要使式子有意义，实数x的取值范围应是　x≤2且x≠﹣1　． 练习2-3 （2021·十七中·月考）若与（x+1）0都有意义，则x的取值范围为　x＞﹣1且x≠1　． 练习2-4若式子有意义，则x的取值范围为　x≥2　． 练习3-1已知y=,则的平方根是 ±3 练习3-2若式子有意义，则x的取值范围是1≤x≤2。 练习3-3已知y= ，求的值 练习3-4 已知，求x、y的值 关卡1-2 性质★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1.式子（a≥0）具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根。具体描述为（1）是非负数，的最小值是0；（2）的被开方数a是非负数。 【注意】当几个非负数的和为0时，这几个非负数必须 . 2.（）2=a（a≥0），即一个非负数的算数平方根的平方等于它本身。 3. 即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身， 当一个数为负数时，它的算术平方根等于它的相反数， 注意： 与（ ）2的区别和联系： 表达式 =|a| ( )2=a 区别 意义不同 表示实数a2的算术平方根 表示非负实数a的算术平方根 取值范围不同 a为任意实数 a≥0 运算结果不同 运算顺序不同 表示对实数a先平方在作开方运算 表示非负数a先开方在做平方运算 联系 与 均为非负数，且当a≥0时， = 4.代数式 用基本运算符号（基本运算符号加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式。代数式可以简明地表示出数量和数量之间的关系，也能客观真实地展现出实际问题中的数量关系。 【注意】1.单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.代数式中不能含有“＝”“≠”或“＜”“＞”“≤”“≥”等关系符号。 【成长例题】 例题1-1（2021·盖州一中·月考） 若式子＝2﹣x成立，x的取值范围为　x≤2　． 例题1-2（2