13.4 课题学习 最短路径问题习题课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

13.4 课题学习 最短路径问题 B C 知识点1　垂线段最短 1．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点P处饮水，到何处最近，画出图形，并说明理由． 解：作AP⊥l于点P. 理由：垂线段最短． 知识点2　两点之间线段最短 2．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点P处饮水，然后到对岸的B地买生活用品，请画出路径最短时点P的位置．　　 知识点3　利用轴对称解决最短路径问题 3．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点M处饮水，然后到C地宿营，请画出最短路径． 解：作点C关于直线l的对称点C1， 连接AC1，交直线l于点M， 连接AM，CM. AM＋CM即为最短路径． 4．如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上找到一点M，使△ABM的周长最小． 解：作点A关于直线l的对称点A1， 连接BA1，交直线l于点M，点M即为所求点． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点). (1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； (2)在直线l上画出点P，使得PA＋PC1的值最小； (3)在直线l上画出点Q，使得QA1＋QB1的值最小． 知识点4　利用平移解决最短路径问题 6．(教材第86页问题2改)要在一条河上架一座桥MN(河的两岸互相平行，桥与河岸垂直)，在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是(　　) 7．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是(　　) A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0) 8．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使|PB－PA|的值最大． 解：连接BA并延长交直线l于点P，则点P即为所求． 9．如图，点A，B在直线l的异侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大． 10．如图，牧马人骑马从A地出发，先到草地a让马吃草，再到河边b饮水，然后到C地宿营，请画出最短路径． 解：作点A关于直线a的对称点A′， 作点C关于直线b的对称点C′， 连接A′C′， 分别交直线a，b于点M，N， 连接AM，CN， 则AM＋MN＋CN即为最短路径． 11．(经典题)如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别在OA，OB上，若△PMN的周长的最小值等于OP的长，求∠AOB的度数． 解：分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2， 连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N， 连接PM，PN，此时，△PMN的周长最小，△PMN的周长＝P1P2， ∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP. ∴△OP1P2为等边三角形， ∴∠P1OP2＝60°. 由对称性可知∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2， ∴∠AOB＝∠P1OP2＝×60°＝30°. $$