2024年中考数学一轮复习课件 一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 知识点1　一元二次方程及其解法 1.概念及形式 概念 含有① 　一　⁠个未知数，并且所含未知数的最高次数是② 　2　⁠的整式方程 一般 形式 ax2＋bx＋c＝0（其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，a≠0） 一 2 2.解法 解法 适用情况 注意事项/步骤 直接开 平方法 （1）形如ax2＋c＝0（a≠0，ac＜0）的方程； （2）形如（x＋b）2＝a（a≥0）的方程 开方后所取值前记得加“±”号 因式 分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0的方程 不能在方程两边同除以相同的含未知数的因式 解法 适用情况 注意事项/步骤 公式法 适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为x＝③ 　​　⁠（b2－4ac≥0） （1）使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； （2）将a，b，c代入公式时应注意其符号 配方法 适用所有一元二次方程，其中当二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单 配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加 ​ 【提分小练】 1.若xm＋3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　2　⁠. 2.若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x＋k2－1＝0有一根为0，则k的值为 　－1　⁠. 3.解方程x2－3x＝0较为合适的方法是（　D　） A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 2 －1 D 4.解一元二次方程： （1）（开平方法）一元二次方程4x2－81＝0的解是 　x1＝，x2＝－　⁠； （2）（配方法）用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后是 　（x－1）2＝3　⁠； （3）（公式法）一元二次方程x2＋x－1＝0的解是 　x1＝，x2＝　　⁠； （4）（因式分解法）方程2x2＋1＝3x的解为 　x1＝1，x2＝　　⁠. x1＝，x2＝－ （x－1）2＝3 x1＝，x2＝　 x1＝1，x2＝　 知识点2　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为 ④ 　b2－4ac　⁠ 与根 的关系 （1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）⑤ 　b2－4ac＝0　⁠⇔一元二次方程有两个相等的实数根； （3）⑥ 　b2－4ac＜0　⁠⇔一元二次方程无实数根. （4）设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－， x1x2＝ b2－4ac b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 【夺分宝典】根的判别式的作用： （1）直接判断或证明一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围（注：二次项系数不为0）. 【提分小练】 5.已知关于x的方程ax2－4x＋1＝0. （1）若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＜4且a≠0　⁠； （2）若方程有两个相等的实数根，则a的值为 　4　⁠； （3）若方程有实数根，则a的取值范围是 　a≤4　⁠； （4）若方程有两个实数根，且和为1，则a的值为 　4　⁠； （5）若方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 　1　⁠. a＜4且a≠0 4 a≤4 4 1 知识点3　一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 类型 等量关系 变化率 问题 设a为原来量，若平均增长率为x%，增长次数为2，则增长后的量b＝⑦ 　a（1＋x%）2　⁠；若平均下降率为x%，下降次数为2，则下降后的量b＝⑧ 　a（1－x%）2　⁠ a（1＋x%）2 a（1－x%）2 类型 等量关系 面积 问题 （1）如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑨ 　（a－2x）（b－2x）⁠； （2）如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑩ 　（a－x）（b－x）　⁠； （3）如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑪ 　（a－x）（b－x）　⁠ ⁠ ⁠　　⁠ ⁠　　⁠ ⁠ 图1　　 图2　 　图3 （a－2x）（b－2x） （a－x）（b－x） （a－x）（b－x） 类型 等量关系 每每 问题 （1）常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数 量为（×b）件 循环赛 问题 （1）单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m； （2）互赠照片问题：全班x人