17.1勾股定理（一）学案2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 17.1勾股定理(一) 【课时目标】 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.(重点) 2. 会用勾股定理进行计算和证明.(重点) 【知识梳理】 1. 面积法证明勾股定理的思路：通过割补、拼接得到不同的(或者同一个)图形，借助两种不同的表达方式表示出面积不变的图形，然后通过恒等变形得到勾股定理.如图①，可以利用两个全等的直角三角形和另一个直角三角形拼出一个直角梯形.由图可知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和.即 整理，得 .所以 2. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.用图形和符号语言表示为： 如图②,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则有 (1) 勾股定理的使用条件是 ，定理的结论是两直角边的平方和等于斜边的平方； (2)已知直角三角形其中两边的长，求第三边的长时，若条件中没有指明最长边，则需要分类讨论.如已知直角三角形两边长为m、n(m>n)，求第三边长.第一种情况：m 为斜边，n为直角边，那么第三边的长度为 第二种情况：m、n都为直角边，那么第三边的长度为 【例题设计】 例1 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C、D的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E的面积是 ( ) A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 提示：根据勾股定理的几何意义，正方形A、B的面积之和为正方形G的面积；正方形C、D的面积之和为正方形H 的面积；而正方形G、H的面积之和又等于正方形E的面积. 例2 在R t△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b. (1) 若a=2,b=5,则c= (保留根号); (2) 若∠A=30°,a=10,则b= (精确到 0.01); (3)若∠A=45°,c=4,则a= (精确到 0.01); (4) 若两边长分别为 7 cm、25 cm,则第三条边长为 (保留根号). 提示：(1) 直接利用勾股定理求得；(2) 根据“直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半”求得c，然后利用勾股定理求出b；(3) 根据等腰三角形的两腰相等，得a=b.利用勾股定理建立方程，求得a的长；(4) 题目没有明确 25cm的边是斜边还是直角边，所以需要分类讨论. 【课堂反馈】 1. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与大正方形面积的比是 ( ) A. 3: 4 B. 5: 8 C. 9: 16 D. 1:2 2. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= . 3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=3,则 AC= ,AB= 4. 如图，试求出下列各直角三角形的未知边长x. 【课后巩固】 1.下列说法正确的是( ) A. 若 a、b、c是△ABC 的三边,则 B. 若 a、b、c 是 Rt△ABC的三边,则. C. 若a、b、c是 Rt△ABC的三边,∠A=90°,则( D. 若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边,∠C=90°,则( 2.在一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和4，下列说法正确的是( ) A. 斜边长为 25 B. 三角形周长为 25 C. 斜边长为 5 D. 三角形面积为 20 3. 在直角三角形中，30°角所对的直角边长是2cm，则另一条直角边的长是( ) A. 4cm C. 6cm 4.如图，字母A 所代表的正方形的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5.将一个有 45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°，如图，则三角尺的最大边长为( ) A. 3cm B. 6cm 6.在等腰△ABC中,AB=AC,AD