12.3 第2课时 角的平分线的判定 训练课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定 ∠AOB ∠CPD 65° A 135° 70° 知识点1　角的平分线的判定 1．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D.根据角平分线的判定填空： (1)若PC＝PD，则OP平分 ； (2)若OC＝OD，则PO平分 . 2．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为____. 3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线． 知识点2　角平分线的性质与判定的综合运用 5．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，AB＝BC.求证CD＝AD. 6．(2021福州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)尺规作图：在边BC上求作点Q，使得点Q到边AB的距离等于CQ的长；(保留作图痕迹，不写作法) 解：(1)作∠CAB的平分线交BC于点Q， 点Q即为所求作的点； (2)在(1)的条件下，连接AQ，交CD于点P.若∠ABC＝55°，求∠CPQ的度数． (2)∵∠ACB＝90°，∠ABC＝55°，∴∠CAB＝90°－55°＝35°， ∵AQ平分∠CAB， ∴∠PAD＝∠CAB＝17.5°. ∵CD⊥AB，∴∠ADP＝90°， ∴∠APD＝90°－17.5°＝72.5°，∴∠CPQ＝∠APD＝72.5°. 7．(2022株洲改)如图，在△ABC中，∠A＝90°，O为△ABC内一点，且 点O到AB，BC，AC的距离相等，则∠BOC的度数为____. 8．(教材第50页第2题改)如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P. (1)求证：点P在∠A的平分线上； (2)∠A＝40°，则∠BPC的度数是____. 解：(1)过点P分别作PM⊥AC于点M， PN⊥BC于点N，PE⊥AB于点E， ∵BP平分∠CBE，CP平分∠BCM， ∴PE＝PN，PN＝PM， ∴PM＝PE， ∴点P在∠A的平分线上； 9．(教材第52页第7题改)如图，在四边形ABCD中，AB⊥CB于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC，且点E为BC的中点． (1)求证：AE平分∠BAD； 证明：(1)过点E作EF⊥AD于点F. ∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥AD， ∴EC＝EF， 又∵EC＝EB，∴EF＝EB， 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上， ∴AE平分∠BAD； (2)求证：AB＋CD＝AD. (2)∵DE平分∠ADC， ∠C＝∠EFD＝90°，DE＝DE， ∴△DCE≌△DFE(AAS)， ∴CD＝DF， 同理，AB＝AF， ∴AB＋CD＝AF＋DF＝AD. 10．(2022泉州期末改)如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF. (1)求证：AE＝BD； 解：(1)∵CA＝CB，∠ACE＝∠BCD＝90°， CE＝CD ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD； (2)求证：AF⊥BD； (3)求∠CFB的度数． (3)过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， 又∵∠CAM＝∠CBN，AC＝BC， ∴△ACM≌△BCN， ∴CM＝CN， ∴∠AFC＝∠CFD＝45°， ∴∠BFC＝135°. $$