4.3.1等比数列的概念（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 1 知识回顾 一、等差数列的概念 知识回顾 一、等差数列的概念 问题1：等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 情境引入 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 情境引入 2.《庄子•天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” . ④ 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 情境引入 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是 2，4，8，16，32，64，… ⑤ 情境引入 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 新知探究 思考：观察以下六个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 如果用表示数列①，那么有 取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同特点: 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 概念生成 1.等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. （1）这个常数叫做等比数列的公比（用字母表示，）. （2）数学语言： 2. 等比中项　 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab . 新知探究 探究： 若等比数列{an}的首项为a1，公比是，根据定义推导它的通项公式. 还有什么方法推导？ 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公比为q, 根据等比数列的定义, 可得 ∴ a2= a1q， a3= a2q = a1q2， a4= a3q= a1q3， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). 又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立. 因此，首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 新知探究 探究：类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一个函数有关？ 指数函数： 指数型函数： 新知探究 思考2：类比指数函数的性质，判断公比的等比数列的单调性？ 典例分析 例1 若等比数列{}的第4项和第6项分别为48和12，求{}的第5项. 知识回顾 例2 若等比数列{}的公比为，试用{}的第项表示. 等比数列{an}的通项公式： 等差数列{an}的通项公式： 知识回顾 例3 数列{}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列. 牛刀小试 课堂小结 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 不完全归纳法 定义式 公差公比 公差d可正、可负、可为零 公比q可正、可负、不可为零 通项公式 等差/比中项 累乘法 ⑥ $$