24.1 利用圆的基本性质构造图形 解题训练 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 第二十四章 圆 利用圆的基本性质构造图形 解题训练 1 如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC.若∠DOE＝72°，求∠A的度数． 2 解：如图，连接OB. ∵点B，E在⊙O上，CD为⊙O的直径， ∴OB＝OE＝OC.∴∠E＝∠EBO. 又∵AB＝OC，∴OB＝AB. ∴∠A＝∠AOB. 又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，∴∠EBO＝∠E＝2∠A. 又∵∠DOE＝∠A＋∠E，∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°. ∴∠A＝24°. 2 如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8 cm，CD＝2 cm. 解：如图，连接OA. ∵C为AB的中点，AB＝8 cm， ∴OD⊥AB，AC＝4 cm. 设⊙O的半径为r cm，则OC＝(r－2) cm. ∴在Rt△OCA中，(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5. ∴⊙O的面积为π×52＝25π(cm2)． (1)求⊙O的面积； (2)连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长． 【点方法】 利用垂径定理求线段的长的方法：垂径定理是解决圆中的计算、证明常用的知识，求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解． 8 3 如图，AB是⊙O的直径，P，C是⊙O上的点，PA＝PC，弦PC交AB于点D. ⌒ ⌒ (1)求证：∠A＝∠C； ⌒ ⌒ 解：设∠A＝∠C＝x°， 则∠POB＝2∠A＝2x°. ∵OD＝DC，∴∠DOC＝∠C＝x°. ∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠C＝x°. 在△POC中，x＋x＋2x＋x＝180， ∴x＝36.∴∠A＝36°. (2)若OD＝DC，求∠A的度数． 4 如图，A，B，C是⊙O的三等分点． (1)求∠AOB的度数； ⌒ ⌒ ⌒ (2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积． 5 【2022·苏州】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D＝________． 62° 【点拨】 连接BC，构造直径AB所对的圆周角，进而求出∠B的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等解决问题． 16 证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE. 则∠ACE＝90°＝∠ADB. ∵∠B＝∠E， ∴∠BAD＝∠CAO. 6 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO. (1)求证：∠BAD＝∠CAO； 17 (2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长． 7 正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证： (1)四边形EBFD是矩形； ⌒ 证明：如图，连接BD. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°. ∴BD为⊙O的直径． ∴∠BED＝∠BFD＝90°. ∵DF∥BE， ∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°. ∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°. ∴四边形EBFD是矩形． (2)DG＝BE. 【点方法】 常见的作辅助线的方法： 1 . 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直，简记为“见直径作直角 ”． 2 . 有90°的圆周角，通常作直径，简记为“ 有直角作直径” ． 22 8 (1)求⊙O半径的长； (2)求证：AB＋BC＝BM. ∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°＝∠ABC. 又∵∠BAC＝∠BMC， ∴△ABC≌△MEC(AAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM. 9 如图，BC是半圆O的直径，点P是半圆的中点，点A是BP的中点，AD⊥BC于D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F. (1)求证：AE＝BE. ⌒ 证明：∵BC是半圆O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°. ∴∠ACB＋∠ABC＝∠BAD＋∠ABD＝90°. ∴∠ACB＝∠BAD. ∵点A是BP的中点，∴∠ACB＝∠ABP. ∴∠ABE＝∠BAE. ∴AE＝BE. ⌒ 解：BE＝EF.理由如下： 由(1)知∠BAC＝90°，∠BAE＝∠ABF， ∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°. ∴∠FAD＝∠AFB.∴EF＝AE. 又∵AE＝BE，∴BE＝EF. (2)判断BE与EF是否相等，并说明理由． (3)小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 解：小李的发现是正确的．理由如下： 如图，连接OA， CP，延长BA与CP，两线交于点G.  ∵P为半圆的中点，∴BP＝PC. ∵BC