预习08 正弦定理（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习08正弦定理 一、正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 二、判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点01已知两角及一边解三角形 【方法点拨】解题思路：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边. 【例1】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】在中，已知，解这个三角形. 【变式1-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【变式1-2】在中，已知，，，则 ； ； ． 【变式1-3】在中，若，，，则 ． 考点02已知两边及其中一边的对角解三角形 【方法点拨】解题思路：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.　 【例3】在中，角，，所对的边分别为，，． ，，则（ ） A． B． C． D． 【例4】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式2-2】在中，已知，，. 求、及. 【变式2-3】在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)求. 考点03利用正弦定理判定解的个数 【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解; （2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解 【例5】在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【例6】在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【变式3-2】在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 考点04判断三角形的形状 【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 【例7】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例8】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式4-1】在中，已知，判断的形状. 【变式4-2】在中，若，则的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-3】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（     ） A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 考点05与三角形面积有关的计算 【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 【例9】在中，若，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 【例10】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若的面积为6，，求b的长. 【变式5-1】在中