第三章变量之间的关系 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

授课主题 变量之间的关系 年 级 七年级下 知 识 梳 理 知识点1.1 用表格表示变量之间的关系 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量； 联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化． 【解题技巧】常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。 自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的； 因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 3）从表格中寻找变化规律 （1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量； （2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化． （3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； 【解题技巧】采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 知识点1.2用关系式表示变量之间的关系 1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2）利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 【解题技巧】关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值 知识点1. 3用图象表示变量之间的关系 1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 2）行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 【解题技巧】（1）用图象解决问题时，要理清图象的含义，即会识图。 （2）在实际问题中，要注意图象与横轴(x轴)、纵轴(y轴)的交点所代表的具体意义。 （3）重点命题方向为：时间-路程图，时间-速度图。 3）从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 【解题技巧】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键． 例题精讲 题型1、常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识 例题： 1．圆的周长公式C=2πR中，下列说法正确的是（ ） A．π、R是自变量，2是常量 B．C是因变量，R是自变量，2π为常量 C．R为自变量，2π、C为常量 D．C是自变量，R为因变量，2π为常量 2．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 3．甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程S(km)与时间t（h）之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是（ ） A．数20和s，t都是变量 B．s是常量，数20和t是变量 C．数20是常量，s和t是变量 D．t是常量，数20和