高考数学开放、探究题的特点及求解策略课件-2024届高三数学二轮复习

开放、探究题的特点及求解策略 　　开放类试题是一类具有开放性和发散性的问题，此类问题一般条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己去探索，结合已知条件进行分析、比较和概括，因此是考查创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型. 其中开放类试题又可分为条件开放型、结论开放型、存在判断型、规律探究型等，每种题型的求解策略有所不同，因此在求解时，必须先辨明考查类型，再根据所属类型选择解题策略. 一、条件开放型问题 【例1】　（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）： 　　　　　　　⁠.  ①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0；③f'（x）是奇函数. 解析　本题属于开放性问题，答案不唯一.例如取f（x）＝x2，x4，x6，…，都可以，还可以取f（x）＝，，，，…. 答案　f（x）＝x2（x∈R）（答案不唯一） 点评　求解条件开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，这是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆行追索，由果寻因.  二、结论开放型问题 【例2】　如图，O为坐标原点，过点P（0，3）作圆O的两条切线分别交椭圆E：＋＝1于点A，B和点D，C.   （1）若圆O和椭圆E有4个公共点，求直线AB和CD的斜率之积的取值范围； 解　（1）若圆O和椭圆E有4个公共点，设圆O的半径为r，则r2∈（3，4）， 设过点P的切线方程为y＝kx＋3， 则r＝∈（，2），得k2∈，　① 联立切线方程与椭圆方程， 得消去y得（3＋4k2）x2＋24kx＋24＝0， Δ＝96（2k2－3）＞0，得k2＞，　② 由①②得k2∈， 所以kAB·kCD＝－k2∈. （2）四边形ABCD的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 解　（2）设直线AC：y＝k'x＋t，A（x1，y1），C（x2，y2）， 联立方程，得消去y得（3＋4k'2）x2＋8k'tx＋4t2－12＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 由题设条件易知kPA＋kPC＝0， 所以kPA＋kPC＝＋ ＝ ＝ ＝＝0， 即2k'x1x2＋（t－3）（x1＋x2） ＝ ＝＝0对任意k'成立， 所以t＝1，即直线AC过定点（0，1）， 同理可得直线BD也过定点（0，1）， 所以四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）. 点评　求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归类、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解题者要依据条件进行大胆合理的猜想，发现规律得出结论. 三、条件、结论同时开放型问题 【例3】　已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 　　　　⁠.  解析　∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β.又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④⇒②.若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α.又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④⇒①. 答案　①③④⇒②（或②③④⇒①） 点评　此类题目不仅要求考生有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力.解答该类问题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性和探索性. 四、存在探究类开放型问题 【例4】　已知向量m＝（2sin θ，sin θ＋cos θ），n＝（cos θ，－2－m），函数f（θ）＝m·n的最小值为g（m）（m∈R）. （1）当m＝1时，求g（m）的值； 解　（1）f（θ）＝2sin θcos θ－（m＋2）（sin θ＋cos θ）＝sin 2θ－（m＋2）sin＝－cos－（m＋2）sin， 又－cos＝2sin2－1， 令t＝sin∈[－1，1]， 所以f（θ）＝φ（t）＝2t2－（m＋2）t－1， 当m＝1时，对称轴为t＝＝＞1， 所以f（θ）的最小值为φ（1）＝1－3. 所以g（m）的值为1－3. （2）已知定义在R上的奇函数h（x）为严格增函数，问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（θ））＞h对所有θ∈恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　（2）由奇函数h（x）在R上为严格增函数，要使h（f（θ））＞h对θ∈恒成立， 即f（θ）＝2sin θcos θ－（m＋2）（sin θ＋cos θ）＞－3－2m 在θ∈恒成立， 令t＝sin θ＋cos θ∈[1