3.3二项式定理及杨辉三角(1)-导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

班级:________姓名:__________ 3.3 二项式定理与杨辉三角 （1） 导学案 【学习目标】 ①掌握二项式定理，熟悉展开式的规律； ②清楚二项式系数和项的系数的区别 ③展开式的通项公式的简单运用 【学习过程】 【尝试与发现1】 我们知道(a+b)1= (a+b)2= , 而且(a+b)3 , 容易看到，上述得到的展开式的过程是繁琐的，如果用这样的方法得到，等的展开式，就更麻烦了 。那么我们有没有其他办法得出呢？ 从 出发，观察中右边各项是如何形成的， 由此总结出一般规律。 【抽象概括，形成概念】 1．二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______. 思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？ 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 【题型探究】 例1. 写出的展开式． 例2.已知在n的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 【针对性练习】求的展开式中含的项． 例3.的展开式中，的系数是_______．的展开式中项的系数为_______ 【体系构建】 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tr＝Can－r＋1br－1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【当堂检测】 1.写出的展开式。 2.求的展开式中的系数。 【课时作业】 1. 2.求的展开式中的常数项和含x的项。 3.在的展开式中，有多少个有理项？ 4. 5.的展开式的第4项是_______，含的项的二项式系数是________． 6.的展开式中的第7项为________．的展开式中，的系数为________． 7. 8. 9. 学科网（北京）股份有限公司 $$