2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标：若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形．请直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1． （1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）； （2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标． 7．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在轴上，直角顶点A在轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）． （1）求点C的坐标并求过A、B、C三点的抛物线的解析式 （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标．； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由； 8．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点．连接、． （1）求抛物线对应的二次函数解析式． （2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标． 9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标． 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 11．二次函数．    (1)当时，函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． ①直接写出函数的解析式； ②如图1，点P是第四象限内函数图象上一动点，求出点P坐标，使得的面积最大； ③如图2，在抛物线上是否存在点Q，使，若存在请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (2)点、为函数图象上任意两点，且．若对于时，都有，求m的取值范围． 12．如图，二次函数，的图象的对称轴与x轴交于点，图象与y轴交于点，已知C，D为该图象上两动点（点C在点D的右侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求的值； (3)是否存在其它位置的点C，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、． (1)抛物线解析式为______，直线解析式为______； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变