第一部分 19 第三章 第八节 二次函数中特殊四边形存在性问题-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精讲本

数学 2024 重庆 精讲本 1 第八节　二次函数中特殊四边形存在性问题 解题方法： 1．平行四边形存在性 (1)坐标平移法：通过点的平移，求坐标； 二次函数中特殊四边形存在性问题 2 3 4 5 4．正方形存在性 (1)在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等即可； (2)在矩形的基础上满足邻边相等或对角线垂直即可． 6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 7 母题分析：典型的已知两点找平行四边形存在性问题，重点在于通过分类讨论找到存在点的坐标． 8 9 解：存在． 理由如下： 假设存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形． ①若CM为平行四边形的一边时，则CM∥x轴，如图，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM. ∵CM∥x轴， ∴点M与点C(0，2)关于对称轴直线x＝－1对称， ∴M(－2，2)，∴CM＝2. 由Q1A＝Q2A＝CM＝2得Q1(－5，0)，Q2(－1，0)； 10 ②若CM为平行四边形的对角线时，如图，过点M作 MG⊥x轴于点G. 易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2， 即yM＝－2. 11 12 求菱形存在点坐标 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标； (2)将抛物线L沿点B，D所在的直线平移，平移后点B 的对应点为B′，点C的对应点为点C′，当四边形 BB′C′C是菱形时，求此时平移后的抛物线的解析式． 13 14 15 16 求矩形存在点坐标 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝ax＋a与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D.设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 17 18 19 20 21 22 23 求正方形存在点坐标 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C. (1)求二次函数的解析式； (2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥ x轴于点N.以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN 右侧，Q为平面内一点)，当点P在抛物线上时，求点 M的坐标． 24 25 26 27 28 (2)顶点坐标公式法：平面直角坐标系中平行四边形ABCD的顶点坐标满足： ①AC为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD；)) ②AB为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝xC＋xD，,yA＋yB＝yC＋yD；)) ③AD为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xD＝xC＋xB，,yA＋yD＝yC＋yB.)) 2．菱形存在性 先平行四边形，再菱形，设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出方程组， 再结合邻边相等列方程组，如菱形ABCD： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD，,（xA－xB）2＋（yA－yB）2＝（xC－xB）2＋（yC－yB）2，)) 代入点坐标解方程即可． 3．矩形存在性 先平行四边形，再矩形，设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出方程组， 再结合邻边相等列方程组，如矩形ABCD： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD，,（xA－xC）2＋（yA－yC）2＝（xB－xD）2＋（yB－yD）2，)) 代入点坐标解方程即可． 设M(x，－2)，则－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2＝－2， 解得x＝－1±eq \r(7). 又∵QG＝3， ∴xQ＝xG＋3＝2±eq \r(7)， ∴Q3(2＋eq \r(7)，0)，Q4(2－eq \r(7)，0)． 综上所述，存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形， 点Q的坐标为(－5，0)或(－1，0)或(2＋eq \r(7)，0)或(2－eq \r(7)，0)． 解：(1)把A(－3，0)和B(1，0)两点分别代入抛