第一部分 18 第三章 第七节 二次函数中特殊三角形存在性问题-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精讲本

数学 2024 重庆 精讲本 1 第七节　二次函数中特殊三角形存在性问题 1．等腰三角形存在性 利用距离公式求坐标： 已知条件：若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为x轴上一点，为所求点． 二次函数中特殊三角形存在性问题 2 (1)设点：设点C的坐标为(m，0)； (2)表示线段的平方： AB2＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2， AC2＝(xA－m)2＋yA2，BC2＝(xB－m)2＋yB2； (3)分类讨论： ①AB2＝AC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xA－m)2＋yA2； ②AB2＝BC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xB－m)2＋yB2； ③AC2＝BC2，即(xA－m)2＋yA2＝(xB－m)2＋yB2； (4)求解得点C的坐标． 3 2．直角三角形存在性 利用勾股定理求坐标： (1)设点：设出点C的坐标； (2)表示线段：利用两点间距离公式分别表示出AB，AC，BC的长； (3)分类讨论： ①当点A为直角顶点时，AB2＋AC2＝BC2； ②当点B为直角顶点时，AB2＋BC2＝AC2； ③当点C为直角顶点时，AC2＋BC2＝AB2； (4)代入列方程，求解． 4 5 6 7 特殊地，∠ABC＝∠DEF＝90°时，可借助tan∠BAC＝tan∠EDF或tan∠BCA＝tan∠EDF 解答问题． (注：一般考查相似三角形存在性问题时，两个三角形中会隐含一组角相等，做此类问题第一步要先找等角，从而确定好一组对应顶点，再去分类讨论．) 8 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 母题分析：典型的等腰三角形存在性问题，涉及等腰 三角形的性质，重点在于要分类讨论，根据等腰三角 形两腰相等列关系式求解． 9 10 解：存在． 理由如下： 由题易知抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴设点Q的坐标为(－1，m)． ∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)， ∴CQ2＝(－1－0)2＋(m－2)2＝m2－4m＋5， BQ2＝(－1－1)2＋(m－0)2＝m2＋4， BC2＝(0－1)2＋(2－0)2＝5. 11 如图，分三种情况考虑： ①当BQ＝BC时，m2＋4＝5， 解得m1＝－1，m2＝1， ∴Q1(－1，－1)，Q2(－1，1)； ②当CQ＝BC时，m2－4m＋5＝5， 解得m3＝0，m4＝4，∴Q3(－1，0)，Q4(－1，4)． 当Q(－1，4)时，点Q，B，C在一条直线上，不合题意，舍去； ③当BQ＝CQ时，m2＋4＝m2－4m＋5， 解得m5＝ ，∴Q5(－1， )． 综上所述，抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形， 点Q的坐标为(－1，－1)或(－1，1)或(－1，0)或(－1， )． 12 求直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13 解：存在． 理由如下： 由题知，抛物线的对称轴为直线x＝－1. ∵A(－3，0)，C(0，2)， ∴AC2＝(－3－0)2＋(0－2)2＝13. 设点Q的坐标为(－1，y)，则QA2＝(－1＋3)2＋(y－0)2＝4＋y2， QC2＝(－1－0)2＋(y－2)2＝y2－4y＋5. 14 分三种情况： ①若∠QAC＝90°，则QA2＋AC2＝QC2， 则4＋y2＋13＝y2－4y＋5， 解得y＝－3，∴点Q1的坐标为(－1，－3)； ②若∠QCA＝90°，则QC2＋AC2＝QA2， 则y2－4y＋5＋13＝y2＋4， 解得y＝ ，∴点Q2的坐标为(－1， )； 15 16 求等腰直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17 解：存在． 理由如下：如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过点Q1作Q1D⊥y轴于点D. ∵∠BCQ1＝90°， ∴∠Q1CD＋∠OCB＝90°. 又∵在Rt△OBC中， ∠OCB＋∠CBO＝90°， ∴∠Q1CD＝∠CBO. 18 又∵Q1C＝BC， ∠Q1DC＝∠BOC， ∴△Q1CD≌△CBO(AAS)， ∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1， ∴OD＝OC＋CD＝3，∴Q1(2，3)． 同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)