第一部分 16 第三章 第五节 二次函数的线段、周长最值问题-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精讲本

数学 2024 重庆 精讲本 1 第五节　二次函数的线段、周长最值问题 解题方法： 1．单线段最值 (1)垂直线段：求垂直于x轴的线段的最值问题，首先通过函数的关系式设出关键点的坐标，一般设横坐标为x，纵坐标用函数关系式表示，用线段两端点的纵坐标作差表示出线段的长度，通过二次函数的性质求最值． 二次函数的线段、周长最值问题 2 (2)斜线段：可过线段端点分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理或者相似转化求解，将斜线段转化为求垂直线段，再利用二次函数的性质求最值． 3 2．线段和(差)最值(将军饮马) (1)两点一线 衍生模型 模型 问题 作法 结论 异侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小 连接AB，与直线l的交点即为P 两点之间，线段最短．此时PA＋PB的值最小，最小值为AB的长 4 衍生模型 模型 问题 作法 结论 同侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为P 两点之间，线段最短．PA＋PB的最小值为AB′的长 5 衍生模型 模型 问题 作法 结论 同侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大 连接AB并延长，与直线l的交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边．此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB的长 6 衍生模型 模型 问题 作法 结论 异侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大 作点B关于直线l的对称点B′，作直线AB′，与直线l的交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边．此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB′的长 7 (2)一点两线 模型 问题 作法 结论 在直线l1上求点A，在直线l2上求点B，使PA＋AB的值最小 作点P关于直线l1的对称点P′，作P′B⊥l2于点B，交直线l1于点A 点到直线，垂线段最短． PA＋AB的最小值为P′B的长 8 模型 问题 作法 结论 在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 分别作点P关于两直线的对称点P′和P″，连接P′P″，与两直线交点即为点M，N 两点之间线段最短． △PMN周长的最小值为线段P′P″的长 9 (3)两点两线 模型 问题 作法 结论 在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小 分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为点M，N 两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段Q′P′＋QP的长 10 模型 问题 作法 结论 点A为直线l1上一定点，点B为直线l2上一定点，在直线l2上求点M，在直线l1上求点N，使AM＋MN＋NB的值最小 作点A关于直线l2的对称点A′，作点B关于直线l1的对称点B′，连接A′B′交直线l2于点M，交直线l1于点N 两点之间线段最短．AM＋MN＋NB的最小值为线段A′B′的长 11 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作 MN∥y轴交直线AC于点N, 当点M的坐标为多少时，线段MN的长有最大值？并求出其最大值． 12 母题分析：此题是二次函数有关线段、周长最值中，最基础的一类问题，重点在于将线段的长度用二次函数的表达式表示，利用二次函数的增减性求最值． 13 14 15 16 17 求线段和最小值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC＋QB的值最小？若存在，求出点Q的坐标及QC＋QB的最小值；若不存在，请说明理由． 18 解：存在． 理由如下： 如图，连接AC，BQ. ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴QA＝QB， ∴QB＋QC＝QA＋QC. 当Q，A，C三点共线时，QB＋QC的值最小． 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 19 20 21 求线段差最大值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA－QC|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及|QA－QC|的最大值；若不存在，请说明理由． 22 解：存在． 理由如下： 由题知，抛物线的对称轴为直线x＝－1，A(－3，0)，B(1，0)． ∵点Q在对称轴上，∴QA＝QB， ∴|QA－QC|＝|QB－QC|≤BC， 即当Q，B，C三点共线时，|QA－QC|的值最大． 易知C(0，2)，由