第一部分 13 第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·命题研究】2024年重庆中考数学精讲本

数学 2024 重庆 精讲本 1 第四节　二次函数的图象与性质 形如y＝ (a，b，c是常数，a≠0)的函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式． 知识点1 二次函数的概念 ax2＋bx＋c 2 【方法指导】 二次函数必须满足三个条件 1．函数解析式为整式； 2．函数解析式有唯一的自变量； 3．解析式自变量的最高次数是2，且二次项系数不等于0. 3 1．根据二次函数解析式判断函数图象与性质 (1)利用解析式判断函数性质 知识点2 二次函数的图象与性质 4 5 【方法指导】 求函数最值的常用方法 求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大、最小值都存在，在顶点和一端点处取得； (2)若对称轴不在该范围内，则最大、最小值也都存在，在x1，x2处取得． 6 (2)利用解析式判断函数图象 a(决定开口方向) a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 a，b (决定对称轴的位置) b＝0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴左侧 a，b异号 对称轴在y轴右侧 c (决定与y轴的交点位置) c＝0 抛物线过原点 c＞0 抛物线与y轴交于正半轴 c＜0 抛物线与y轴交于负半轴 7 b2－4ac (一元二次方程根的判别式) b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点)(对应一元二次方程有两个相等的实数根) b2－4ac＞0 与x轴有两个交点(对应一元二次方程有两个不相等的实数根) b2－4ac＜0 与x轴没有交点(对应一元二次方程无实数根) 8 2.根据二次函数图象判断相关结论 图象 结论 a 0，b 0，c＜0， b2－4ac＞0 a 0，b＝0，c＞0， b2－4ac 0 ＞ ＞ ＜ ＞ 9 图象 结论 a＞0，b 0，c 0， b2－4ac＞0 a＜0，b 0，c＜0， b2－4ac 0 ＜ ＞ ＞ ＝ 10 图象 结论 a＞0，b 0，c＞0， b2－4ac 0 a 0，b＞0，c 0， b2－4ac＞0 ＞ ＜ ＞ ＝ 11 图象 结论 a 0，b 0，c＝0， b2－4ac＞0 a＞0，b 0，c＝0， b2－4ac 0 ＜ ＞ ＝ ＝ 12 3.二次函数图象与a，b，c的特殊关系 2a＋b － 与1比较 2a－b － 与－1比较 a＋b＋c 令x＝ ，看纵坐标 a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标 4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标 4a－2b＋c 令x＝ ，看纵坐标 1 －2 13 1．平移的步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可． 知识点3 二次函数图象的平移 14 2．平移的方法 15 1．确定二次函数解析式的方法主要是待定系数法．巧设二次函数解析式有助于快速解决题目．一般情况下，根据题设中给出的条件，可按以下方式设二次函数解析式． (1)顶点在原点，可设为y＝ax2； (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为______________； (3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； (4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； 二次函数解析式的确定 知识点4 y＝ax2＋c　 16 (5)已知顶点坐标为(h，k)时，可设为顶点式 ； (6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设为交点式 ______________________； (7)当已知抛物线上任意三点时，可设一般式为 ， 然后列三元一次方程组求解． y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 17 2．根据图形变化确定二次函数解析式 (1)将已知解析式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k； (2)根据下表求出变化后的a，h，k. 18 y＝a(x－h)2＋k a 顶点(h，k) 平移变化 不变 变 轴对称 变化 x轴 相反数 (h，－k) y轴 不变 (－h，k) 旋转 变化 绕顶点(180°) 相反数 (h，k) 绕原点(180°) 相反数 (－h，－k) (3)将变化后的a，h，k代入顶点式中即可得到变化后的解析式． 19 1．二次函数与方程的关系 二次函数与方程、不等式的关系 知识点5 Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的个数 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况 Δ>0 2个 2个不相等实数根