2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与相似三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与相似三角形 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与交于点E，与x轴交于点F． (1)填空：点B的坐标是　 　； (2)若，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且，求点G的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴的负半轴交于点C，点C的坐标为（0，-3），点A的坐标为（-1，0），顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标： (2)点P是抛物线上点A与点C之间的部分（包含点A与点C），过点P作PE垂直AD交抛物线对称轴于点E，求点E纵坐标的取值范围． 3．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 4．已知抛物线与y轴交于点C，且经过点，． (1)求抛物线表达式； (2)如图①，点P是第一象限抛物线上的一个点，过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，交线段BC于点Q．连接CP．若△CDQ与△CPQ的面积比为，求点P的横坐标； (3)如图②，点M与点C关于抛物线的对称轴对称．在线段BC上，是否存在点N，使得以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值； (3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标． 6．如图，已知抛物线经过原点、，直线经过抛物线的顶点，点是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结，，，过点作轴，分别交线段、于点、. （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求证：； （3）当时，求点的坐标. 7．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，当x=2时，抛物线取得最小值－1，并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B（A在B的右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）D是线段AC的中点，E为线段AC上的一动点（不与A,C重合），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． (1)已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由； (2)已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接并延长，交该抛物线于点E．点F 是射线上一点，如果，求点F的坐标． 10．综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线分别交x轴，y轴于点D，E．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)当时，求m的值； (3)连接，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且．过点A的直线与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作于点H． (1)抛物线的表达式中，________，________； (2)在点P的运动过程中，若取得最大值，求这个最大值和点P的坐标