2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1.如图,点是直径延长线上一点,,点是上一个动点(不与点,重合),点为半径的中点. (1)如图1,若,求的长; (2)如图2,当时,求证:是的切线. 2.如图所示,的半径为5,点A是上一点,直线l过点A,P是上的一个动点(不与点A重合),过点P作于点B,交于点E,直径的延长线交直线l于点F,点A是的中点. (1)求证:直线l是的切线; (2)若,求的长. 3.如图,在中,以为直径的交于点,弦交于点,且,,. (1)求证:是的切线; (2)求的半径. 4.如图,在中,为的直径,为上一点,是的中点,过点作的垂线,交的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的长. 5.如图,AB是⊙O的弦,C是的中点,连接OC并延长到E,交AB于点D,连接OA、BE、BC,且∠A=∠E. (1)求证:BE是⊙O的切线. (2)若OA=5,CD=2,求tan∠CBE的值. 6.如图,是的直径,C是弧的中点,延长至点D,使,连接. (1)求证:是的切线; (2)若E是的中点,的延长线交的延长线于点F,连接交于点H,连接.已知的半径是2,求的长. 7.已知:如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A. (1)求证:CD为⊙O的切线; (2)过点C作CE⊥AB于E.若CE=2,,求⊙O的半径. 8.如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且平分,过点E作于点F,延长和的延长线交于点G. (1)证明:是的切线; (2)若,,求的半径. 9.如图,是的直径,F是上的点,C是弧的中点,过点C作于点E,延长交延长线于点D. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的长. 10.如图,在中,,以为直径的分别交于点,点在的延长线上,且. (1)求证:直线是的切线; (2)若,求线段的长. 11.如图,是直径,点C在上,在的延长线上取一点D,连接,使. (1)求证:直线是的切线; (2)若,,求图中阴影部分的面积. 12.如图,在四边形中,,连接,恰好是的平分线,以为直径作,经过点,的延长线交于点,连接. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的半径. 13.已知:四边形内接于,对角线交于点平分. (1)如图1,求证:; (2)如图2,连接交于点,点为上一点,,求证:; (3)如图3,在(2)的条件下,过点作的切线交的延长线于点,若,求线段的长. 14.如图所示,为的直径,点C为圆上一点,于点E. (1)如图1,当点E是的中点时,求的度数; (2)如图2,连接,若,求的值; (3)如图3,在(2)的条件下,将绕点B顺时针旋转得到,请证明直线是的切线. 15.欧几里德,古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题:“由已知点作直线切于已知圆”. 如图1,设点是已知点,圆是已知圆,对于上述命题,我们可以进行如下尺规作图: ①连接,作线段的中点; ②以为圆心,以为半径作圆,与圆交于两点和; ③连接、,则、是圆的切线. (1)按照上述作图步骤在图1中补全图形; (2)为了说明上述作图的正确性,需要对其证明,请写出证明“、是圆的切线”的过程; (3)如图2,连接并延长交圆于点,连接,已知,,求圆的半径. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)解:如图,连接, , , 又, , , , ; (2)证明:如图,连接,. 点为半径的中点,, ∴, ∵ ∴, ∴是等边三角形, , , , , , 是的切线. 2.(1)证明:连接. ∵是的直径, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点A是的中点, ∴, ∴, ∴, ∵是的半径, ∴直线l是的切线. (2)解:连接. ∵点A是的中点, ∴, ∴, ∵是的直径, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴. 3.(1)证明:∵, ∴, ∴为直角三角形,即, ∴, 又∵, ∴, ∵为直径点在上, ∴是的切线. (2)解∶如图所示,连接,设半径为,则, ∴, 在中,由勾股定理得,解得:, ∴的半径为. 4.(1)解:证明:连接; ∵; ∴; 又∵为的中点; ∴ ∴; ∴; ∴; ∵; ∴; 又∵为半径; ∴为的切线; (2)连接,交于于点,则, ∵是圆的直径; ∴; ∴四边形为矩形; ∵ ∴, ∴, ∵,则, 由勾股定理的, ∴ 又∵四边形为矩形; ∴ 5.(1)解:证明:连接OB, ∵C是的中点, ∴OE⊥AB,即∠BDE=90o, ∴∠E+∠DBE=90o ∵OA=OB, ∴∠A=∠OBD. 又∵∠A=∠E, ∴∠OBD=∠E, ∴∠OBD+∠DBE=90o即∠OBE=90o, ∴OB⊥BE