2024年人教版九年级数学中考专题训练：实际问题与二次函数

2024年人教版九年级数学中考专题训练 实际问题与二次函数 1．滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一，运动员的着陆点需在，之间(如图2)，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分(如图1)．若甲运动员刚好落在基准点，到起跳台的水平距离为米，高度为(为定值)．甲运动员的竖直高度单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数，且记录了一次甲运动员起跳后的数据；而乙运动员满足函数，且达到最大高度为米． (1)求甲，乙运动员起跳后的函数的表达式． (2)起跳后甲运动员达到最高点之前的水平距离前进了多少米． (3)请你判断乙运动员着陆点能否超过甲运动员？并说明理由． 2．阅读以下材料，完成课题研究任务： 【研究课题】设计公园喷水池 【素材1】某公园计划修建一个图1所示的圆形喷水池，水池中心处立着一个高为2m的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度处，且离池面的高度为． 【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，要求小水池不能影响水流． 【任务解决】 (1)请结合题意写出下列点的坐标：A（_____），（______）． (2)圆形大水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不落到水池外？ (3)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？ 3．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 3 5 6 7 9 竖直高度 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则 （填“>”“=”或“<”）． 4．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？ 5．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，某主播小佳在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示： (1)当定价为______元时，开始无人购买； (2)设小佳每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若小佳每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 6．一名男生推铅球，铅球在空中运行的路径可以看作是一条抛物线，若铅球出手时的高度为，铅球运行时在4m处达到最大高度3m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求铅球运行路径所对应的抛物线的解析式； (2)求该男生推铅球的距离； (3)若该男生向前进，同时铅球的出手高度增加，铅球运行的路线与（1）中抛物线形状相同，最后推铅球的距离增加了，则的值是______________． 7．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第一档次（最低）的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件． (1)若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出与之间的函数关系式； (2)若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次． 8．某农户要改造部分农田种植蔬菜.经调查，改造农田费用（元）与改造面积（亩）成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元.这项费用每年均需再投入．除上述费用外，没有其他费用.设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元． (1)设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y； (2)按前三年计算，若，是否改造面积越大收益越大?改造面积为多少时，可以得到最大收益？ (3)按前三年计算，若，当收益不低于43200元时，求改造面积x的