2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，点为抛物线上第一象限内的动点，点在轴上． （1）若点的横坐标为4，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图，若点，，连接，，证明． （3）如图，若，连接交轴于点，过点作轴于，当平分时，求的值． 2．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标． （3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点． （1）求、、的值； （2）连接、、，求面积的最大值； （3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由． 4．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0 （1）若抛物线经过点A（－1，2），求此抛物线的解析式 （2）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝； （3）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值； （3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）抛物线与交于点，在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标以及这个最大值； （3）设点是轴上一点，当时，求点的坐标． 7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点D的坐标； （2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积； （3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标． 8．已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与y轴相交于点，与x轴分别交于点和点C，且． （1）求抛物线解析式； （2）设D是抛物线上的一点，若，求点D的横坐标； （3）抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由． 10．如图1，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F． （1）抛物线的解析式为：_______________；直线的解析式为：_______________； （2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作轴于点E，交直线于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是． （1）求点的坐标； （2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式． 12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的坐标； （3）如图2，连接、，点在线段上（不与、重合），作直线轴交抛物线于点，是否存在点，使得与相似？若存在，求