2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．    (1)求直线的表达式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值； (3)设抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在点M，使得是以为直角的三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线的图像与坐标轴交于三点， (1)求两点坐标； (2)如图1，若抛物线的顶点为，求与的面积之和； (3)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段所在直线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状； (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在直线上方的抛物线上，过点P作x轴的垂线l，连接交于点D．当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，在l上是否存在点Q，使是直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　． (2)①求抛物线的解析式； ② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值． 9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点, 顶点为． （1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标； （2）将抛物线沿轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为, 点的对应点为． ①如果点落在线段上, 求的度数； ②设直线与轴正半轴交于点, 与线段交于点, 当时, 求平移后新抛物线的表达式． 11．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的