寒假预习 专题十七 正方形-人教版八年级数学下册

数学八年级下寒假预习专题训练 专题十七 正方形 【专题导航】 目录 【知识点一 正方形的定义及其性质】..........................................1 【知识点二 正方形的判定】..................................................4 【三 综合培优】............................................................6 知识点一 正方形的定义及其性质 知识点拨：正方形是特殊的平行四边形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还具有矩形、菱形的特殊性质，现实生活中存在大量的正方形，从它与矩形、菱形的关系入手认识正方形，便于掌握它的性质判定。 方法点拨：从边、角、对角线、对称性描述正方形的性质： 1. 边：两组对边分别平行且相等，四条边相等。 2. 角：四个角都相等且都是直角。 3. 对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角。 4. 对称性：正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 【典例剖析1】 【典例1-1】．已知正方形的对角线,则正方形的周长为__________. 【典例1-2】如图,E为正方形ABCD对角线BD上的一点,且BE=BC,则∠DAE=_____. 针对练习1 1．如图,E是正方形ABCD边BC延长线上一点,CE=AC,AE交CD于F,则∠AFC的度数为__________。 2．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为_________. 3．如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______. 能力提升1 1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为______. 2．如图，正方形的边长是5，E为上任意一点（不与B，C重合），连，过E作的垂线交正方形的外角的平分线于F. （1）如图1，求证：； （2）如图2，连交于G，连，则的周长会发生变化吗？如不变化，求其值；若发生变化，就求其变化的范围. 3．如图1，已知正方形，点F，G分别在，上，且. （1）求证：. （2）如图2，点E在的延长线上，且. ①求的度数； ②求证：. 解题技巧 正方形中证明三角形全等的思路：找出要证明的两个三角形，结合正方形的边分析对应边，对应角，或者添加辅助线加以证明 知识点二 正方形的判定 知识点二 正方形的判定 知识点拨：判定一个四边形是正方形，首先说明其是平行四边形、矩形或菱形，再判断其他条件。 方法点拨：正方形常用的判定方法 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形 2. 有一个内角是直角的菱形是正方形。 3. 对角线互相垂直的矩形是正方形。 4. 对角线相等的菱形是正方形。 【典例剖析2】 【典例2-1】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，请添加一个条件______________（只需添加一个即可），使矩形ABCD是正方形. 【典例2-2】．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，请你添加一个条件__________，使四边形是正方形. 针对练习2 1．中，D是射线上一点，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F. 【探究】如图1，连接，若点D在线段上，且. （1）证明：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由. 【拓展】如图2，当点D在点B右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形. 2．如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F在AC上,且,连接DE并延长至点M,使,连接MF,DF,BE. （1）当时,证明:四边形EMBF是矩形; （2）当满足什么条件时,四边形EMBF是正方形?请说明理由. 3．如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,连接AF,CE. （1）若,,求CE的长; （2）若,求证:四边形ABCD是正方形. 能力提升2 1．如图，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，P是BD上一点，过点P作，，垂足分别为M、N. (1)求证：； (2)若，求证：四边形MPND是正方形. 2．如图, 在平行四边形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O,, 且BD 为 的平分线. 求 证: 平行四边形ABCD 为正方形. 解题技巧 判定正方形的两个思路：（1）先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等。（2）先证明四边形是菱形，再证明有一内角是直角。 三 综合培优 转化思想 【典例剖析3】 【典例3-1】已知：E、F分别为正方形的边DC、BC上两点且. （1）如图1，求证：