离散型随机变量分布列均值和方差（2）作业-2024届高三数学一轮复习

· 河北衡水中学2024届高三一轮复习作业实验一 第一组编人： 第二组编人： 校对人： 审核人： 日期 离散型随机变量的分布列、均值和方差(2) 1．某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 (1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； (2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明） 2．产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响. (1)若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案. （i）求5个产品全部测试合格的概率； （ii）求4个产品测试合格的概率. (2)若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数. 3．某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定. (1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率； (2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值. 4．一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立.设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若. (1)求出； (2)依据随机变量的分布，求和； (3)若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和. 5．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第一种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，92，86，89，90，90； 第二种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：81，87，83，82，80，90，86，89，84，79； 该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效. （1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差； （2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，求其中服药有效的只数不超过2只的概率； （3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为. （ⅰ）求并写出与的关系式； （ⅱ）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值. 7．已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为： 0 1 2 n 其中（）满足：，且． 定义由生成的函数，令． （I）若由生成的函数，求的值； （II）求证：随机变量的数学期望， 的方差； （） （Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值． 8．某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中. (1)甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，试比较ξ的方差与大小． 9．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得分，取出一个白球得分，取出一个黑球得分，其中，，都为正整数． （1）当，，时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布