离散型随机变量分布列均值和方差（2）学案-2024届高三数学一轮复习

河北衡水中学2024届高三一轮复习学案 第一组编人： 第二组编人： 校对人： 审核人： 日期 离散型随机变量的分布列、均值和方差(2) 知识点一　离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量． 知识点二　离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 知识点三　离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. (1)均值：称E(X)＝_x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__为随机变量X的均值或数学期望． (2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的_标准差__. (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝_aE(X)＋b__. ②D(aX＋b)＝_a2D(X)__. *③D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量． 2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的． 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　) (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) 题组二　走进教材 2．(P77A组T1改编)(此题为更换后新题)设随机变量X的概率分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝___. 3．(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是___. 4．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝___，E(ξ)＝___. 5．(2020·课标Ⅲ，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　) A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 考点一　离散型随机变量分布列的性质—— 例1(2021·银川质检)若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．－0.2 C．0.8 D．－0.8 考点二　离散型随机变量的期望与方差—— 例2 角度1　期望、方差的简单计算 (1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5,6)，则E(X)＝_3.5__，E(2X＋3)＝_10__，D(X)＝ __，D(3X－1)＝_ 角度2　期望、方差与函数性质 (2)(2019·浙江卷，7)设0<a<1.随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在(0,1)内增大时，(　　) A．D(X)增大 B．D(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 角度3　实际问题中的期望、方差问题 (3)(2021·天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． ①求顾客所获的奖励额为60元的概率； ②求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． (4)(入座问题)有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法． (1)求n的值； (2)求随机变量X的数学期望和方差． 求离散型随机变量的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行： (1)明确随机变量的所有可能取值以及