浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期第一次质量检测数学试题

湖州中学2024届高三第一次质量检测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．设，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 8．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C． 的一个零点为 D．在单调递减 10．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 11．已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 12．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于 ． 14．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为 ． 15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 . 16．已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是 . 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）已知数列满足：. （1）求的通项公式； （2）若，求. 18．（本题12分）已知，，且 （1）求的单调区间. （2）在中，，，的对边分别为，，，当，，，求的面积. 19．（本题12分）如图，在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是菱形，且，为棱上的动点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为． 20．（本题12分）为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响． (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； (2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望． 21．（本题12分）已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点. 若直线垂直平分弦，求实数的值； 已知点，在直线上（为圆心），存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数. 22．（本题12分）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份