6.2.3 向量的数乘运算11种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略（人教A版2019必修第二册）

6.2.3 向量的数乘运算11种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对向量数乘运算的理解 题型2 向量的线性运算 题型3 向量的线性运算在几何中的应用 题型4 用已知向量表示其他向量 题型5 根据线性运算求参数 题型6 向量共线的判定 题型7 三点共线问题 题型8 已知向量共线（平行）求参数 题型9 平面向量共线定理证明线平行问题 题型10 平面向量共线定理的推论 题型11 三角形的“四心”问题 1、向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 2、用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 3、向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 4、利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． 5、利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 题型1 对向量数乘运算的理解 1．（2023·高一课时练习）实数与向量的乘积还是向量．( ) 2．（2023上·辽宁锦州·高一校联考期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 3．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 4．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 7．【多选】（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空) 题型2 向量的线性运算 9．（2023·高一课时练习）下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2023下·高一课时练习）计算： (1)； (2)． 11．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. (1)； (2)； (3). 题型3 向量的线性运算在几何中的应用 13．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 15．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 16．（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考