预习06 向量在几何和物理中的应用举例（七大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习06向量在几何和物理中的应用举例 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 3.平面向量及三角形的“四心”. 设为所在平面上一点,内角所对的边分别为， ①O为的外心； ②O为的重心； ③O为的垂心(三角形三边高的交点)； ④O为的内心 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 考点01证明线段垂直 【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用数量积的运算律算出值0;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入数量积的坐标公式算出0 【例1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【例2】在中，分别为边上的点，且.设.    (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 【变式1-1】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【变式1-3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点02求夹角问题 【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入 【例3】如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数. 【例4】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【变式2-1】已知的三个顶点分别为,求的大小． 【变式2-2】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【变式2-3】在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，． 考点03求线段长度 【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入模的坐标公式 【例5】用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 【例6】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【变式3-1】如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.    (1)设，求和的值； (2)求线段的长. 【变式3-2】如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 【变式3-3】如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 考点04求几何最值 【方法点拨】（1）基底法：①利用其底转化向量;②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （2）坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;②将平面向量的运算坐标化;③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 【例7】已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为 . 【例8】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【