复合函数的导数及其应用课件- 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复合函数的导数及其应用 复合函数的导数及其应用 情境探究 情境　如何求函数y＝ 的导数？ 复合函数的导数及其应用 问题 1．分析函数的运算特点，函数y＝　　 是怎样构成的？ 2．函数y＝ 是什么函数？如何求其导数？ 3．如何利用函数y＝ 与t＝1－2x的导数求出函数y＝ 的导数？ 提示：1．函数y＝ 是由y＝ 与t＝1－2x通过复合运算得到的． 复合函数的导数及其应用 问题 1．分析函数的运算特点，函数y＝　　 是怎样构成的？ 2．函数y＝ 是什么函数？如何求其导数？ 3．如何利用函数y＝ 与t＝1－2x的导数求出函数y＝ 的导数？ 2． 是幂函数，利用公式（xα）′＝αxα－1（α∈Q，α≠0）求其导数， 因此 复合函数的导数及其应用 问题 1．分析函数的运算特点，函数y＝　　 是怎样构成的？ 2．函数y＝ 是什么函数？如何求其导数？ 3．如何利用函数y＝ 与t＝1－2x的导数求出函数y＝ 的导数？ 3．由 　　　　　　　　　 得 再将t＝1－2x代入，得 复合函数的导数及其应用 复合函数求导的步骤 分层 选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 分别求导 分别求各层函数对相应变量的导数 相乘 把上述求导的结果相乘 变量回代 把中间变量回代 复合函数的导数及其应用 求复合函数的导数的注意点 分解的函数通常为基本初等函数； 求导时分清是对哪个变量求导； 计算结果尽量简单． 复合函数的导数及其应用 例1 求下列函数的导数． （1）y＝e2x＋1； （2）y＝5log2（1－x）； （3）y＝e－x·sin 2x； （4）y＝ 思路点拨：选定中间变量u，确定基本初等函数y＝f（u），u＝g（x） —→由外到内求导—→变量回代相乘． 解析：（1）函数y＝e2x＋1可看成函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′ ＝（eu）′·（2x＋1）′ ＝2eu＝2e2x＋1． 复合函数的导数及其应用 例1 求下列函数的导数． （1）y＝e2x＋1； （2）y＝5log2（1－x）； （3）y＝e－x·sin 2x； （4）y＝ 思路点拨：选定中间变量u，确定基本初等函数y＝f（u），u＝g（x） —→由外到内求导—→变量回代相乘． 解析： （2）y′＝[5log2（1－x）]′·（1－x）′ ＝5· 　　　　 ·（－1） ＝ （3）y′＝（e－x）′sin 2x＋e－x·（sin 2x）′ ＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x． 复合函数的导数及其应用 例1 求下列函数的导数． （1）y＝e2x＋1； （2）y＝5log2（1－x）； （3）y＝e－x·sin 2x； （4）y＝ 思路点拨：选定中间变量u，确定基本初等函数y＝f（u），u＝g（x） —→由外到内求导—→变量回代相乘． 解析： （4） 解题模板 复合函数的导数及其应用 例1 求下列函数的导数． （1）y＝e2x＋1； （2）y＝5log2（1－x）； （3）y＝e－x·sin 2x； （4）y＝ 确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数，逐步确定复合过程． 复合函数的导数及其应用 例2 已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 思路点拨：利用复合函数求导法则求出函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程． 解析： ∵f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2， ∴f′（x）＝ －1＋2x， ∴f′（1）＝ ． ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y－ln 2＝ （x－1），即3x－2y＋2ln 2－3＝0． 又f（1）＝ln 2， 解题模板 复合函数的导数及其应用 例2 已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （1）利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数． （2）求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是不是切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程． 再 见 $$