第二十三章 旋转－旋转的性质在解几何问题中的应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学九年级上册

人教版 九年级上 第二十三章 旋转 旋转的性质在解几何问题中的 应用训练 1 如图①,等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心,点C,D分别在OE和OF上,现将 OEF绕点O逆时针旋转角 (0 < <90 ),连接AF,DE(如图②). 2 (1)在图②中,∠AOF=_;(用含 的式子表示) 90 - 【点拨】 由旋转的性质可知∠DOF=∠COE= , ∴∠AOF=90 - . (2)在图②中猜想AF与DE的数量关系,并证明你的结论. 解:AF=DE. 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOD=∠COD=90 ,OA=OD. ∵∠DOF=∠COE= , ∴∠AOF=∠DOE. ∵ OEF为等腰直角三角形, ∴OF=OE. ∴ AOF≌ DOE(SAS).∴AF=DE. 2 如图,将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC=120 )绕点B顺时针旋转得到 A1BC1,使得C点落在AB延长线上的点C1处,连接AA1. (1)写出旋转角的度数; 解:旋转角的度数为60 . 【点拨】 ∵∠ABC=120 ,∴∠CBC1=180 -∠ABC=60 , 即旋转角为60 . (2)求证:∠A1AC=∠C1. 证明:由旋转的性质知 ABC≌ A1BC1, ∴∠ABC=∠A1BC1=120 ,AB=A1B,∠C=∠C1. ∵∠A1BA+∠A1BC1=180 ,∴∠A1BA=60 . ∴ A1BA为等边三角形. ∴∠A1AB=60 . ∴∠A1AB+∠ABC=180 , ∴AA1∥BC.∴∠C=∠A1AC. ∴∠A1AC=∠C1. 3 如图,将 ABC绕点B顺时针旋转60 得到 DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD. 求证:BC∥AD. 证明:由旋转的性质可得 ABC≌ DBE, 且∠ABD=∠CBE=60 , AB=DB. ∴ ABD是等边三角形. ∴∠DAB=60 .∴∠CBE=∠DAB. ∴BC∥AD. 4 如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,点D,E在BC上,且∠DAE=45 . (1)画出 ABD绕点A逆时针旋转90 后的三角形; 解:如图, ACF即为所求; (2)若BD=3,CE=4,求DE的长. 解:连接EF,如图. ∵把 ABD绕点A逆时针旋转90 得到 ACF, ∴ ABD≌ ACF,BD=CF, AD=AF,∠DAF=90 . ∴∠EAF=90 -∠DAE=45 =∠DAE. 5 如图,把正方形ABCD中的 ABP绕点B顺时针旋转得到 CBP′,若BP=2,AP=1. (1)连接PP′,求PP′的长; (2)连接CP,若CP=3,求∠APB的度数; 解:∵PB=P′B,∠PBP′=90 , ∴∠BP′P=∠BPP′=45 . ∵ ABP≌ CBP′, ∴AP=CP′=1,∠APB=∠BP′C. 在 P′PC中,P′P2+P′C2=(2)2+12=9,PC2=32=9,∴P′P2+P′C2=PC2. ∴∠PP′C=90 .∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45 +90 =135 .∴∠APB=∠BP′C=135 . 6 如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,D是AB边上一点(点D不与点A,B重合),连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90 得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE. 17 (1)求证: ACD≌ BCE; 证明:∵把CD绕点C逆时针旋转90 得到线段CE, ∴CD=CE,∠DCE=∠DCF+∠ECF=90 . 又∵∠ACB=90 =∠ACD+∠DCF, ∴∠ACD=∠ECF. 又∵AC=BC,∴ ACD≌ BCE(SAS). (2)当AD=BF时,求∠BEF的度数; (3)求证:DE2=BD2+AD2. 证明:∵∠ABC=∠EBC=45 , ∴∠DBE=∠ABC+∠EBC=90 . ∴DE2=BD2+EB2. 又∵EB=AD,∴DE2=BD2+AD2. 7 在正方形ABCD中,∠MAN=45 ,∠MAN绕点A按顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于M,N两点.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图①),易证BM+DN=MN. (1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图②),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?并说明理由. 解:BM+DN=MN. 理由如下:如图,将 ADN绕点A按顺时针方向旋转90 得到 ABE,由旋转的性质可得∠EAN=90 ,BE=DN, AE=AN,∠ABE=∠D=90 , ∵∠ABC=90 ,∴∠ABE+∠ABC=180 . ∴E,B,C三点共线. ∵∠MAN=45 ,∴∠EAM=∠NAM=45 . 又∵AM=AM,∴ AEM≌ ANM(SAS). ∴ME=MN. 又∵ME=BE+BM=D