小升初圆柱圆锥（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

授课主题 圆柱与圆锥 年 级 班 型 培优班 知 识 梳 理 知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2（αb+αh+bh） α：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S=6α2 α：棱长 S：表面积 V=α3 V=Sh 圆柱 πr2h 圆锥 πr2h 知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 1.把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 2.物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. 3.把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. 注：铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯． 例题精讲 基础题 板块一 圆柱与圆锥 例1、如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14) 【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和 为(立方米)，侧面积 为(立方米)， 所以该物体的表面积是(立方米)． 【答案】32.97 例2、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为 (平方厘米)． 【答案】307.72 例3、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米) 当圆柱的高是12厘米时体积为(立方厘米)．所以圆柱体的体积为立方厘米或立方厘米． 【答案】立方厘米或立方厘米 例4、把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【解析】 沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为厘米，底面半径为厘米，所以原来的圆柱体的体积是(立方厘米)． 【答案】25.12 例5、一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm²，则这个圆柱体木棒的侧面积是________cm²．(π取3.14) 【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面． 设圆柱体底面半径为，高为，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： ，所以，所以，圆柱体侧面积为： ． 【答案】3152.56 例6、一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ () 　　　　 【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径． 可知，圆柱体的高为(厘米)，所以增加的表面积为(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为厘米，所以侧面长方形的面积为平方厘米，所以增加的表面积为平方厘米． 【答案】16 例7、右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积． 【解析】 这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米． 【答案】89120 例8、输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？ 【解析】 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示