6.3.1 平面向量基本定理（6大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.1 平面向量基本定理 1、理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2、掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量； 3、会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 一、平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 二、平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】（2023·全国·高一专题练习）下面说法中，正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的. A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【变式1-2】（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量. B．在平面向量基本定理中，若，则. C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是. D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的. 【变式1-3】（2022·安徽芜湖·高二校考开学考试）（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 题型二 判断向量能否作为基底 【例2】（2023·福建·高一福建师大附中校考期中）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】（2023·吉林·高一校考阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（2023·江苏镇江·高一镇江市实验高级中学高一期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（2023·山东泰安·高一泰安第二中学校考阶段练习）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 用基底表示向量（1） 【例3】（2023·江西赣州·高一寻乌中学校考期中）在中，，，若点满足，以为基底，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·陕西安康·高一校考期中）如图，在梯形中，，，设，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点 （1）以，为基底，分别表示向量，； （2）以，为基底，表示向量. 【变式3-3】（2023·河南·高三校联考期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ） A． B． C． D． 题型四 用基底表示向量（2） 【例4】（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知AD，BE分别为的边 BC，AC 上的中线，=，=，则（ ） A．+ B．+ C．- D． + 【变式4-1】（202