2.2基本不等式两课时学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式（1） 学习目标 1. 掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养； 2. 会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识点一 基本不等式 1.基本不等式的定义： 如果 ，通常称不等式 （当且仅当a＝b时，等号成立）为基本不等式(basic inequality)． 其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：可拓展到三个，以及更多个. 知识点二 基本不等式的证明 1.代数法：① ② ； 2.几何法：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ . 知识点三 基本不等式的几种常见变形 (1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)； (2)ab≤(a，b∈R)； (3) ； 注：可拓展以下几种形式 (4)＋≥2(ab＞0)； (5)a＋≥2(a＞0，k＞0)； (6)≤≤≤ (a，b都是正实数)． 典例分析 题型一 对基本不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程： ①因为a，b都是正实数，所以＋≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ 变式训练1 下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2 B．当时， C．当a>4时，a＋≥2 ＝6 D．当a>0，b>0时，≥ [方法总结](1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果, “一正,二定,三相等”. (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． 题型二 利用基本不等式求最值 例2 (1)已知x＞0，求y＝x＋的最小值; (2)已知x<0，求y＝x＋的最大值. 例3 已知x∈R，求3x2＋的最小值. 例4 已知x，y都是正实数，求证： （1）如果x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为 ; （2）如果xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2. 变式训练2(1) 已知>0，b>0，求+b+的最小值; (2)已知，求的最小值. [方法总结] 若是求和式的最小值,通常化积为定值;若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值. 题型三 利用基本不等式证明不等式 例5 （1）已知，b，c是互不相等的正实数，且＋b＋c＝1，求证： ++>9. （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. [方法总结]（1）遇到常数“1”可进行代换，然后进行证明；（2）利用三次基本不等式. [拓展提高] 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证： 2 学科网（北京）股份有限公司 2.2基本不等式（2） 学习目标 1.掌握基本不等式的形式，能用基本不等式解决简单求最值问题; 2.会用基本不等式结合实例，解决简单问题; 3.在解决实际问题的过程中，体会数学的严谨性. 知识点一 基本不等式与最值 1.已知x,y都是正数， ①若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____． ②若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____． 知识点二 基本不等式的三个条件 “一正”：x，y必须是____ ； “二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为____ ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为____ ; ③“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立. 典例分析 题型一 利用基本不等式求最值 例1 （1）已知,求的最大值； （2）已知,求的最大值. 例2（1） 已知>0，b>0，＋b＝2，则的最小值是 ; （2）已知>0，b>0，且,则的最小值为 . 例3(1)若,且,求的最小值； (2) 若,且,求的最小值. 变式训练1（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值; （2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值; （3）已知x>0，y>0,且x＋y＝4，求＋的最小值. [拓展提高] （1）已知>0，b