1.4充分条件与必要条件 两课时学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3．让学生体会充分条件与必要条件在表达数学命题和论证数学结论中的作用，从而培养他们的逻辑推理能力和数学运算的核心素养． 知识点一 命题、真命题、假命题的概念 1．用语言、符号或式子表达的,可以 的陈述句叫作命题,其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题. 2.中学数学中的许多命题可以写成“若，则” “如果，那么”等形式，其中称为命题的 ， 称为命题的 . 知识点二 充分条件、必要条件的概念 1.下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等; (3)若，则; (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则. 一般地，“若，则”为真命题，是指 .这时，我们就说，由可以推出，记作 ，并且说，是的 条件，是的 条件． 如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作 ，此时，我们就说不是的 条件，不是的 条件． 【对充分条件的理解】 (1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论． (2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立， 【对必要条件的理解】 “是的必要条件”的理解：若有，则必有；而具备了，不一定有. 知识点三 判定定理与充分条件的关系 思考：命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件是“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 事实上，下列命题均为真命题 ①_____________________________________，则这个四边形是平行四边形； ②_____________________________________，则这个四边形是平行四边形； ③_____________________________________，则这个四边形是平行四边形。 所以，“四边形的 ”“四边形的 ”“四边形的 ”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。而命题①②③均是平行四边形的判定定理。 一般地，对给定结论，使得成立的条件是不唯一的；数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个____________条件． 知识点四 性质定理与必要条件的关系 思考：命题“若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等”给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件是“这个四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗? ④若四边形是平行四边形，则这个四边形的____________________； ⑤若四边形是平行四边形，则这个四边形的_____________________； ⑥若四边形是平行四边形，则这个四边形的______________________。 所以，“四边形的 ”“四边形的 ”“四边形的 ”都是“四边形是平行四边形”的必要条件。而命题④⑤⑥均是平行四边形的性质定理。 一般地，对给定条件，由可以推出的结论是不唯一的；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个____________条件． 题型一 充分条件、必要条件的判断 例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若,为无理数，则为无理数. [方法总结] 判断充分条件的两种方法 （1）定义法步骤：①分清“条件”与“结论”；②判断条件能否推出结论；③下结论. （2）集合法：已知A＝{|满足条件}，B＝{|满足条件}．若A⊆B，则是的充分条件． 变式训练1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，