蝴蝶定理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

授课主题 蝴蝶定理 年 级 班 型 培优班 知 识 梳 理 板块一 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①或者② 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： 1 ②； ③的对应份数为． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 例题精讲 基础题 例1、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 例2、一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？ 例3、四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍． 例4、如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积． 例5、如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积． 例6、正方形ABCD边长为6厘米，AE＝AC，CF＝BC。三角形DEF的面积为 平方厘米。 例7、如图，，，求梯形的面积． 例8、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。 例9、梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比． 例10、如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？ 例11、 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？ 例12、在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米。 例13、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积． 例14、如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积． 例15、如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积． 例16、 如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积． 例17、已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米． 例18、如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？ 例19、如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是 ． 例20、如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为______． 例21、如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？ 课 后 作 业 1、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 2、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？ 3、如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积． 4、如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积． 5、已知是平行四边形，，三角形的面积为平方厘米。则阴影部分的面积是 平方厘米。 6、如图4，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE的面积是 。 7、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米． 8、如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积． 9、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________． 10、在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么